内蒙古自治区通辽市2025届高考三模数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.某中学有高中生人，初中生人，为了解学生的身心发展情况，按比例采用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，则抽中的高中生人数为( ) A. B. C. D. 3.已知函数，则曲线在点处的切线方程为( ) A. B. C. D. 4.已知向量，满足，，且，则( ) A. B. C. D. 5.已知函数是偶函数，则的最小值是( ) A. B. C. D. 6.已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则( ) A. B. C. D. 7.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 8.已知正方体的棱长为，以顶点为球心，为半径的球的球面与正方体的表面的交线总长为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知复数，则下列复数为纯虚数的是( ) A. B. C. D. 10.已知函数且，则下列结论正确的是( ) A. 若，则 B. 若，则的值域为 C. 若，则在上单调递增 D. 若，则在上单调递增 11.在平面直角坐标系中，动点在直线上的射影为点，且记的轨迹为曲线，则下列结论正确的是( ) A. 关于直线对称 B. 上存在点，使得 C. 的最小值为 D. 若与两条坐标箱的正半轴所围成的面积为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知双曲线的离心率为，则 ． 13.名医生和名护士站成一排，要求名护士不相邻，且医生甲不站在队伍的最左端，则不同的站法共有 种． 14.在中，内角，，所对的边分别是，，，点在边上，且则的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，在四棱锥中，，平面． 证明：； 求平面与平面所成角的正弦值． 16.本小题分 为了增强学生的法律意识，某学校组织了一场法律知识测试，测试共有，两个试题题库，学生先从这两个题库中任选一个，再从该题库中任选一道试题作答若答错该试题，学生测试结束：若答对该试题，则再从另外一个题库中任选一道试题作答，无论答对与否，学生测试结束已知学生甲答对题库中的每道试题的概率均为答对题库中的每道试题的概率均为 求学生甲只作答了一道试题的概率； 若答对题库中的试题，可以获得个积分，若答对题库中的试题，可以获得个积分，记学生甲测试结束时获得的总积分为，求的分布列与期望． 17.本小题分 已知函数 若，求的极值 讨论的单调性． 18.本小题分 已知椭圆的左、右焦点分别为是圆上一点，线段与交于点，且． 求的标准方程； 过点的直线与交于，两点，记为坐标原点，线段的中点为，的左顶点为． 求面积的最大值； 若的外心为，直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 19.本小题分 已知，若正项数列满足，则称为“上界数列”． 若，判断数列是否为“上界数列”，并说明理由； 若数列是“上界数列”，求的最小值； 若，且证明：数列是“上界数列”． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.证明：过点作，垂足为， 因为平面， 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设， 则， 所以， 则， 所以，即． 由知，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设平面与平面所成角为， 则， 则， 即平面与平面所成角的正弦值为． 16.学生甲只作答了一道试题的情况有两种：选中题库并答错和选中题库并答错， 所以学生甲只作答了一道试题的概率为． 由题，， ，， ， 所以的分布列为 所以的期望为． 17.当时，，则， 令，即，解得或舍， 当时，，则函数单调递增， 当时 ... ...
