广东省惠州市博罗县杨侨中学2025届高三下学期3月月考数学试卷（含答案）

广东省惠州市博罗县杨侨中学2025届高三下学期3月月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，则( ) A. B. C. D. 2.已知集合，则( ) A. B. C. D. 3.函数的最小正周期和最大值分别是( ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4.已知向量，若，则( ) A. B. C. D. 5.若，则( ) A. B. C. D. 6.设抛物线：的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，则 A. B. C. D. 7.已知函数若存在个零点，则的取值范围是 A. B. C. D. 8.如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为在整个图形中随机取一点，此点取自，，的概率分别记为，，，则 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.某科技公司统计了一款最近个月的下载量，如下表所示，若与线性相关，且经验回归方程为，则( ) 月份编号 下载量万次 A. 与负相关 B. C. 第个月的下载量估计为万次 D. 残差绝对值的最大值为 10.已知函数的部分图象如图所示，则( ) A. B. 点是图象的一个对称中心 C. 方程在区间上有个实数解 D. 若，则的单调递增区间为 11.长方体中，，，点为线段上的动点，且不与点重合，为平面内一动点，将绕旋转，得到圆锥，则下列说法正确的是( ) A. 若，，则圆锥被长方体所截得几何体的体积为 B. 若，则存在点，使得直线平面 C. 若圆锥表面积为，则圆锥体积最大值为 D. 若，，则长方体内还可完全放入一个半径为的小球 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.一座五层高的灯塔，底层所开灯的数量为盏，每一层开灯的数量都是下面一层的两倍，则一共开了 盏灯． 13.的展开式中的系数为，则 ． 14.除数函数的函数值等于的正因数的个数，例如，，则 ； ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，在平面四边形中，为线段的中点，． 若，求的面积； 若，求． 16.本小题分 已知函数，． 若函数在上单调递减，求的取值范围： 若直线与的图象相切，求的值． 17.本小题分 如图，已知为等腰梯形，点为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，，． 求证：平面； 求平面与平面所成角的余弦值． 18.本小题分 在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送和中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号时，接收为和的概率分别为，；发送信号时，接收为和的概率分别为假设每次信号的传输相互独立． 当连续三次发送信号均为时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为，求的最小值； 当连续四次发送信号均为时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量中任意相邻的数字均不相同时，令，若，求的分布列和数学期望． 19.本小题分 已知椭圆的离心率为，直线过的上顶点与右顶点且与圆相切． 求的方程． 过上一点作圆的两条切线，均不与坐标轴垂直，，与的另一个交点分别为，证明： 直线，的斜率之积为定值； ． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.过点作，垂足为． 由，得， 在四边形中，由，得， 所以四边形是平行四边形， ，， 所以的面积为． 连接． 在中，因为， 所以， 在中，由，得． 所以为等边三角形， 在中，由余弦定理知 16.记在上单调递减， 对恒成立， ，而， 当且仅当即时，等号成立， 所以当时，取得最小值为． 所以的取值范围为 设直线与的图象相切于， ， 由题意可知 代入， ，左边式子关于单调递减且时，左边 ... ...