2024-2025 学年湖南省三湘名校联盟高一（下）期中 数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 = { || 2| < 2}，则 ∩ =( ) A. B. {1,2} C. {2,3} D. {1,2,3} 2.下列命题中为真命题的是( ) A.圆柱的侧面展开图是一个正方形 B.用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台 C.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体是棱柱 D.球体是旋转体的一种类型 3.设△ 外接圆的半径为 ，若 = 2 ，则△ 的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 4 3 .在复平面内， = 1 2 所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.在△ 中， = 4 ，记 = ， = ，则 =( ) A. 4 3 B. 3 4 C. 5 4 D. 4 5 6.已知 = 1 + 2 是实系数一元二次方程 2 + + 1 = 0 的一个复数根，则 3 + =( ) A. 4 1 3 25 B. 5 C. 5 D. 5 7.已知平面上四个点 ( 1,2)， (1,1)， (2,1)， (3,4)，则向量 在向量 上的投影向量为( ) A. ( 1 3 110 , 10 ) B. ( 10 , 3 10 ) C. ( 1010 , 3 10 2 1 10 ) D. ( 5 , 5 ) 8.如图，四边形 的斜二测画法的直观图为直角梯形 ′ ′ ′ ′，其中 ′ ′// ′ ′， ∠ ′ ′ ′ = 2， ′ ′ = 5，cos∠ ′ ′ 10 ′ = ，则四边形 的周长为( )10 A. 5 + 4 3 B. 8 + 2 3 C. 8 + 2 2 D. 5 + 4 2 第 1页，共 7页 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知向量 = (1, )， = ( 1, )，则( ) A. = 1 是 ⊥ 的充要条件 B. > 1 是 与 的夹角为锐角的必要不充分条件 C. / / 是 + = 0 的充要条件 D. < >= ， 3是( + ) 2 = 3( 1)2的充要条件 10.设复数 满足 + 1 = 3| | + | | ，则( ) 1 A. | | = 3 B. = 2 3 C. = 1 9 D. = 1 + 11.记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 4 = 2 = ，则( ) A. = 2 B. 2 1 1 = C. = 2 2 D. = 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.在△ 中，∠ = 120°， = 2， = 1，则 = _____． 13.已知函数 ( ) = 3| 1|( ≠ 0)，则 ( )的图象经过定点_____； ( )的值域为_____． 14.菱形 中， = 6，∠ = 60°， = 2 , = 2 1，点 在线段 上，且 = + 2 ， 则 + | | = _____． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题 13 分) 已知△ 中， 3 + = 2． (1)求 ； (2) 3证明： ≤ 4． 16.(本小题 15 分) 已知函数 ( ) = ln( 2 2 )． (1)求 ( )的定义域； (2)证明：曲线 = ( )关于直线 = 1 对称； (3)若 (2 + 1) > ( + 4)，求 的取值范围． 17.(本小题 15 分) 已知复数 = 3 + ， = ( , ∈ 且 ， ≠ 0)，且| | = | |． 第 2页，共 7页 (1) 求 的值； (2)证明：| | = | |； (3)设 ， 在复平面上对应的向量分别为 ， ，若 = 12，求 的值． 18.(本小题 17 分) 已知将函数 ( ) = sin(2 + )(| | < 2 )的图象向左平移3个单位后所得函数的图象关于 轴对称． (1)求 ； (2)求 ( )的相位及其最小正周期； (3) ∈ ( 11 当 12 , 24 ]时，求使得不等式 ( ) > |cos(2 + )|恒成立的对应 的取值范围． 19.(本小题 17 分) 已知海面上 ， 两点处置有距离为 2 2海里的两个灯塔，游船在 点时，与 ， 两点处灯塔的距离均为 2 海里.游船航行一段距离后，从两灯塔间穿过并抵达 点，此时在 点处灯塔测得∠ = 6． (1) 6+ 2若 ， 两点的距离为 2 海里，求 的长度； (2)求 ， 两点距离的取值范围． 第 3页，共 7页 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 7 13.(0,3) [1, + ∞) 14.476 15.解：(1)因为 3 + = 2， 所以 2( 32 + 1 2 ) = 2， 所以 sin( + ... ...
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