2024-2025 学年上海市青浦高级中学高二（下）期中 数学试卷 一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若 、 为实数，则“ = 1”是“直线 + 2 = 0 与直线 + = 0 平行”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 2.如图所示，在正方体 1 1 1 1中，点 为边 1 1上的动点，则下列直线中，始终与直线 异面 的是( ) A. 1 B. C. 1 D. 1 3.抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，记录骰子朝上面的点数，若用 表示红色骰子的点数，用 表示绿色 骰子的点数，用( , )表示一次试验结果，设事件 ： + = 8；事件 ：至少有一颗点数为 6；事件 ： > 4； 事件 ： < 4.则下列说法正确的是( ) A.事件 与事件 为互斥事件 B.事件 与事件 为互斥事件 C.事件 与事件 相互独立 D.事件 与事件 相互独立 4.定义：如果曲线段 可以一笔画出，那么称曲线段 为单轨道曲线，比如圆、椭圆都是单轨道曲线；如果 曲线段 由两条单轨道曲线构成，那么称曲线段 为双轨道曲线.对于曲线 ： ( + 1)2 + 2 ( 1)2 + 2 = ( > 0)有如下命题： ：存在常数 ，使得曲线 为单轨道曲线； ：存在常数 ，使得 曲线 为双轨道曲线.下列判断正确的是( ) A. 和 均为真命题 B. 和 均为假命题 C. 为真命题， 为假命题 D. 为假命题， 为真命题 二、填空题：本题共 12 小题，共 60 分。 5.以 (3,4)为圆心且过点(1, 3)的圆的标准方程是_____． 6.已知直线 的一个方向向量 = (4,3,1)，平面 的一个法向量 = ( ,3, 5)，且 / / ，则 = _____． 7.曲线 = 2 + 8 在点 (1,9)处的切线与 轴交点坐标为_____． 8.从 7 个人中选 4 人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排 2 人，第二天和第三天均安排 1 人， 且人员不重复，则一共有_____种安排方式(结果用数值表示)． 第 1页，共 9页 9.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 8 名学生参加数学竞赛，他们取得的 成绩(满分 100 分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是 86，乙班学 生成绩的中位数是 83，则 + 的值为 ． 10.已知函数 ( )的导函数为 ′( )，且满足关系式 ( ) = 2 + 2 ′(1) + ，则 ′(1) =_____． 11.已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为 2 ，半径为 2 的扇形，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为 _____． 12.已知等比数列{ }中，log 2 1 + log2 4 = 3，2 2 2 3 = 64，则 10 = _____． 13.某科技公司组织技术人员进行某新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验甲、乙、丙， 3 2 1 已知实验甲、乙、丙成功的概率分别为4、3、2，对实验甲、乙、丙各进行一次，则至少有一次成功的概率 为_____. (结果用最简分数表示) 14.从某个角度观察篮球(如图 1)，可以得到一个对称的平面图形，如图 2 所示，篮球的外轮廓为圆 ，将 篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆 的交点将圆 的周长八等分，且 = = ，则该双曲线的离心率为_____． 15.若 2 + 8 3 + 2 2 < 4 2 + + 3 3 对 ∈ 恒成立，则 的取值范围是 ． 16.在直角坐标平面 中，已知两定点 1( 2,0)与 2(2,0)， 1， 2到直线 的距离之差的绝对值等于 2 2， 则平面上不在任何一条直线 上的点组成的图形面积是_____． 三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题 14 分) 已知等差数列{ }满足 2 = 5， 9 + 7 = 2 6． (1)求{ }的通项公式； (2)设数列{ }前 项和为 ，且 = 2 2 +1 ，若 > 432，求正整数 的最小值． 18.(本小题 14 分) 如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， ⊥平面 ， 为 的中点． 第 2页，共 9页 (1)设平面 与直线 相交于点 ，求证： // ； (2)若 = 2，∠ = 60°， = 4 2，求直线 与平面 所成 ... ...
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