北京市东直门中学2024-2025学年高二下学期3月阶段考试数学试题(含详解)

北京市东直门中学2024 2025学年高二下学期3月阶段考试数学试题 一、单选题（本大题共10小题） 1．5位老师和2名学生排成一队，学生既不排在一起也不排在队伍的首尾，则不同的排法有（ ）. A．种 B．种 C．种 D．种 2．若在数列中，，，则（ ） A．2 B． C． D． 3．已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，则（ ） A．8 B．9 C．7 D．6 4．如图，曲线在点处的切线为直线，直线经过原点，则（ ） A． B． C． D． 5．设是函数的导函数，将和的图象两在同一个直角坐标系中，其中不正确的是（ ） A． B． C． D． 6．如果函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．设是无穷数列，，则“是等差数列”是“是等差数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．若函数有2个零点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．是平面直角坐标系内一点，我们以轴正半轴为始边，射线为终边构成角，的长度作为的函数，若其解析式为：，则的轨迹可能为：（ ）. A． B． C． D． 10．利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数，下列说法正确的是（ ） A．有且只有一个极大值点 B．在上单调递增 C．存在实数，使得 D．有最小值，最小值为 二、填空题（本大题共6小题） 11．用数字0 2 5 7四个数可以组成 个无重复数字的三位数． 12．已知数列的前项和满足，则数列的通项公式为 ． 13．焦点在轴上，且实轴长是6，虚轴长8的双曲线的标准方程为 . 14．已知方程有三个实数解，则实数的取值范围为 . 15．已知函数，．若时，函数有最大值为1，最小值为，试写出一组满足上述条件的 ． 16．已知各项均不为零的数列，其前项和是，且.给出如下结论： ①； ②若为递增数列，则的取值范围是； ③存在实数，使得为等比数列； ④，使得当时，总有. 其中所有正确结论的序号是 . 三、解答题（本大题共6小题） 17．求下列函数的导数： (1) (2) 18．已知函数在时取得极值. (1)求函数的单调区间和极值点； (2)求函数在点处的切线方程； (3)若有两个零点，求的值. 19．如图，在三棱锥中，平面． (1)求证：平面； (2)求平面APC与平面PBC所成夹角的大小． 20．已知椭圆的左顶点为，右顶点为，点在椭圆上（与点、不重合），过且与轴垂直的直线交直线于点，交直线于点. (1)求椭圆的短轴长和离心率； (2)若线段的中点为，求点坐标. 21．已知函数 (1)求在区间上的最值； (2)若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围； (3)若过点作曲线的切线，可以作出几条？ 22．设为无穷数列，给定正整数，如果对于任意，都有，则称数列具有性质． (1)判断下列两个数列是否具有性质；（结论不需要证明） ①等差数列：5，3，1，…；②等比数列：1，2，4，…． (2)已知数列具有性质，，，且由该数列所有项组成的集合，求的通项公式； (3)若既具有性质又具有性质的数列一定是等差数列，求的最小值． 参考答案 1．【答案】A 【详解】先给5名老师全排列有种排法，去掉头尾后，有4个空位， 用插空法将2名学生排列在老师之间的4个空隙中，即有种方法； 根据分步乘法计数原理即可得共有种方法. 故选：A 2．【答案】D 【详解】因为，， 所以，，，， 所以是以为周期的周期数列，所以. 故选：D 3．【答案】D 【详解】抛物线中，，点在抛物线上，则，， 所以到焦点的距离为， 故选：D． 4．【答案】C 【详解】由题意，，且， 所以. 故选：C. 5．【答案】D 【详解】对于选项A，有可能二次函数为原函数，直线为导函数，原函数先增后减，导函数先负后正，符合要求，故A正确； 对于选项B，有可能轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正， ... ...