2024-2025 学年浙江省宁波中学高一下学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.复数 = 2 2 3 + ( 3)i( ∈ )表示纯虚数，则实数 的值为( ) A. = 1 B. = 1 C. = 3 D. = 1 或 = 3 2.下列结论中正确的是( ) A.正四面体是四棱锥 B.棱台的侧棱长均相等 C.圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 D.以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体叫圆锥 3.已知直线 , 分别在两个不同的平面 , 内，则“直线 和直线 平行”是“平面 和平面 平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.在 中，已知 = 2 ，设 = , = ，则( ) A. = 1 + 2 B. = 2 1 3 3 3 3 C. = 2 1 13 + 3 D. = 3 2 3 5.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为 45°的等腰梯形，已知直观图 ′ ′ ′中， ′ ′ = 1, ′ = 2，则该平面图形的面积为( ) A. 22 B. 2 C. 2 2 D. 4 2 6.在△ = 2 3 = 6 = 中， ， ， 6，则此三角形( ) A.无解 B.一解 C.两解 D.解的个数不确定 7.冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化 风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有 固定的角度，比如在弯折位置通常采用 30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.为了判断“冬”的 第 1页，共 8页 弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制了△ ，测得 = 5， = 6， = 4， = 3， 若点 恰好在边 上，请帮忙计算 sin∠ 的值( ) A. 59 B. 2 14 22 14 9 C. 6 D. 6 8.已知平面向量 、 、 满足： 与 的夹角为锐角． = 4， = 2， = 1，且 + 的最小值为 3， 1 向量 2 的最大值是( )． A. 1 B. 3 + 2 2 C. 3 D. 3 + 2 3 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.如图，在正方体 1 1 1 1中， 、 、 、 、 、 分别是棱 、 、 1 1、 1、 1 1、 1 的中点，则下列结论正确的是( ) A.直线 和 平行， 和 异面 B.直线 和 平行， 和 相交 C.直线 和 相交， 和 异面 D.直线 和 异面， 和 异面 10.设 1, 2为复数，则下列结论中正确的是( ) A. 1若 为虚数，则 1也为虚数 B.若 1 + i = 1，则 1 的最大值为 21 C. 1 2 = 1 2 D. 1 2 ≤ 1 + 2 11.“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现，被刻在他的墓碑上.马同学站在阿基米德的肩膀 上，研究另外两个模型：“圆台容球”，“圆锥容球”，如下图，半径为 的球分别内切于圆柱，圆台，圆 锥.设球，圆柱，圆台，圆锥的体积分别为 0, 1, 2, 3.设球，圆柱，圆台，圆锥的表面积分别为 0, 1, 2, 3， 第 2页，共 8页 则以下关系正确的是( ) A. 0 = 0 = 2 B. 0 0 3 > C. 0 > 0 D. 0 1 的最大值为1 1 2 2 3 3 3 2 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.若 = 3, = 4,向量 与向量 的夹角为45 ,则 = 13 1 .如图，四边形 是边长为 的正方形， 是四分之一圆，则图中阴影部分以 所在直线为旋转轴旋 转一周得到的旋转体的表面积为 ． 14 2 cos .在锐角 中， 、 、 分别是角 、 、 所对的边，已知 6 = cos 且 = 6，则锐角 面积的取 值范围为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题 13 分) 已知向量 = 1,2 ， = 2, ． (1)若 ⊥ ，求 ； (2)若向量 = 3, 2 ， // + ，求 与 夹角的余弦值． 16.(本小题 15 分) 已知 ∈ ，复数 = 2 + 3 + ( 1) ． (1)若 在复平面内对应的点位于 ... ...
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