陕西省西安高新第一中学2024-2025学年高三（下）4月模拟数学试卷（PDF版，含答案）

陕西省西安高新第一中学 2025 届高三下学期 4 月模拟 数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 .若1 = 2i，则|1 | =( ) A. 55 B. 2 5 5 5 C. 2 D. 5 2.已知全集 = N，集合 = = 2 , ∈ N ， = = 4 , ∈ N ，则( ) A. ∩ = B. ∩ = C. ∪ = D. ∪ = 3 .在 中，若动点 满足向量 平行于向量 + ，则 的轨迹过 的( ) sin sin A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 4.已知直线 = + 2 与曲线 = e 相切，则 =( ) A. 1 1 2e3 B. e2 C. e D. e 3 5.已知 cos( ) = 12，sin( + ) = 1 3，则 cos2 cos2 =( ) A. 5 56 B. 36 C. 5 5 6 D. 36 2 26.已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)，直线： 2 1: = 2 ， 2: = 2 2 ，点 在 上，过 作 平行于 1交 2 于点 ，作 平行于 2交 1于点 ，若 的长度为定值，则 的离心率为( ) A. 2 1 2 34 B. 2 C. 2 D. 2 7.正四棱台上底面边长为 1，下底面边长为 2，若一个球的球心到正四棱台各个面的距离均等于该球的半径， 则正四棱台与该球的体积之比为( ) A. 14: π B. 7: π C. 7: 2π D. 7: 2π 8.盲盒中有大小相同的 3 个红球，2 个黑球，随机有放回的摸两次球，记 为摸到黑球的个数，随机无放回 的摸两次球，记 为摸到黑球的个数，则( ) A. ( ) < ( )， > B. ( ) = ( )， ( ) > ( ) C. ( ) < ( )， < D. ( ) = ( )， ( ) < ( ) 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.如图，矩形 中， = 2， = 1， 为 的中点，将 沿 翻折成 1 ，得到四棱锥 1 ， 点 在线段 1 上，则( ) 第 1页，共 10页 A. ⊥ 1 B.存在 ，使 //平面 1 C.存在 ，使 ⊥平面 1 D. 2四棱锥 1 体积的最大值为 4 10.平面上到两个定点距离之积是常数的点的轨迹称为双纽线，已知双纽线 的方程 2 + 2 2 = 2 2 2 ， 则( ) A. 是轴对称图形 B. 是中心对称图形 C. 1 1的图形包含在单位圆内 D. 的图形介于直线 = 2与 = 2之间 11.设 , ∈ 0, π2 ，则下列四个选项中，是“ tan > tan ”成立的充分必要条件的是( ) A. > B. e > e C. sin > sin D. sin2 > sin2 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.从 1,2,3,4,5 中挑出 3 个不同的数字组成五位数，其中有 2 个数字各用 2 次，则能得到的不同的五位数 的个数为 ． 13.已知点 ( 1,1)，⊙ 的方程为( 1)2 + ( + 1)2 = 10， ， 为⊙ 上的动点，满足∠ = 90°， 则 中点的轨迹方程为 ． 14.如果一个正整数等于它所有真因子之和，那么称这个正整数为完全数，例如 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14，28 是完全数，若 = 31 × 2 是完全数，则 = ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题 13 分) 在 中，sin = cos = 32 tan ， = 2． (1)求 ； (2)求 的内切圆面积． 16.(本小题 15 分) 第 2页，共 10页 如图，在四棱锥 中，侧棱 ⊥矩形 ，且 = ，过棱 的中点 ，作 ⊥ 交 于点 ， 连接 , , , . (Ⅰ)证明： ⊥ ． (Ⅱ)若 = 1 ，平面 与平面 所成二面角的大小为3，求 的值． 17.(本小题 15 分) 已知抛物线 : 2 = 2 ( > 0)上有三个点 (4,2)， 1, 1 ， 2, 2 ，且直线 与 斜率之和为 0． (1)求直线 的斜率； (2)若 1 ≤ 0， 2 ≤ 0，求 面积的最大值． 18.(本小题 17 分) 设 ≠ 0，函数 ( ) = 2 2 3 + 3 + 2 2 + 3 e ． (1)当 = 1 时，求曲线 = ( )在点 0, (0) 处的切线方程； (2)求 ( )的单调区间． 19.(本小题 17 分) 1 2 3 由 9 个不同的实数 1， 2，…， 9构成一个数表 = 4 5 6 ，若 中每行 3 个数之和、每列 3 个数之 7 8 9 4 9 2 和、两条对角线 3 个数之和均相等，则称 为一个 3 阶幻方，这个和称为幻和 ( ).例如 3 5 7 就是一个 8 1 6 3 ... ...