专题6.2 平面向量的运算【七大题型】（举一反三）（含答案）2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题 6.2 平面向量的运算【七大题型】 【人教 A 版（2019）】 【题型 1 向量的加、减运算】 ................................................................................................................................3 【题型 2 向量数乘的有关计算】 ............................................................................................................................4 【题型 3 平面向量的混合运算】 ............................................................................................................................5 【题型 4 由平面向量的线性运算求参数】 ............................................................................................................7 【题型 5 向量共线定理及其应用】 ........................................................................................................................9 【题型 6 根据向量关系判断三角形的心】 ..........................................................................................................11 【题型 7 向量线性运算的几何应用】 ..................................................................................................................13 【知识点 1 平面向量的线性运算】 1．向量的加法运算 (1)向量加法的定义及两个重要法则 定 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 义 向 前提 已知非零向量 , ，在平面内任取一点 A. 量 加 作法 作 ，连接 AC. 法 的 结论 向量 叫做 与 的和，记作 ，即 . 三 角 形 图形 法 则 向 前提 已知两个不共线的向量 , ，在平面内任取一点 O. 量 加 作法 作 ，以 OA,OB 为邻边作四边形 OACB. 法 的 结论 以 O 为起点的向量 就是向量 与 的和，即 . 平 行 四 边 图形 形 法 则 规 对于零向量与任一向量 ，我们规定 . 定 (2)多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一 个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 2．向量加法的运算律 (1)交换律： ； (2)结合律： . 3．向量的减法运算 (1)相反向量 我们规定，与向量 长度相等，方向相反的向量，叫做 的相反向量，记作 .零向量的相反向量仍是 零向量. (2)向量减法的定义： 向量 加上 的相反向量，叫做 与 的差，即 - = +(- ).求两个向量差的运算叫做向量的减法. (3)向量减法的三角形法则 如图，已知向量 , ，在平面内任取一点 O，作 = ， = ，则 = - = - .即 - 可以 表示为从向量 的终点指向向量 的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 4．向量的数乘运算 (1)向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数 与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 ，它的长度与 方向规定如下： ① ； ②当 >0 时， 的方向与 的方向相同；当 <0 时， 的方向与 的方向相反. (2)向量的数乘的运算律 设 , 为实数，那么① ( )=( ) ；②( + ) = + ；③ ( + )= + . 特别地，我们有(- ) =-( )= (- )， ( - )= - . (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量 , ，以及任意实数 , , ，恒有 ( )= . 5．平面向量线性运算问题的求解思路： (1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加 减法相互转化； (2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中 位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示. 【题型 1 向量的加、减运算】 【例 1】（2 ... ...