专题7.1 复数的概念【八大题型】（举一反三）（含答案）2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题 7.1 复数的概念【八大题型】 【人教 A 版（2019）】 【题型 1 复数的分类及辨析】 ................................................................................................................................2 【题型 2 复数的相等】 ............................................................................................................................................3 【题型 3 已知复数的类型求参数 】 .......................................................................................................................4 【题型 4 复数的几何意义】 ....................................................................................................................................7 【题型 5 复数的向量表示】 ....................................................................................................................................8 【题型 6 共轭复数的求解】 ..................................................................................................................................10 【题型 7 复数的模的计算】 ..................................................................................................................................11 【题型 8 复数的模的几何意义】 ..........................................................................................................................12 【知识点 1 数系的扩充和复数的概念】 1．数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入 为了解决 这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数 i，规定： ① ，即 i 是方程 的根； ②实数可以和数 i 进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数 a 与 i 相加，结果记作 a+i；实数 b 与 i 相乘，结果记作 bi；实数 a 与 bi 相加，结果 记作 a+bi.注意到所有实数以及 i 都可以写成 a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如 a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位.全体复数构成的集合 C={a+bi|a,b∈R}叫 做复数集.这样，方程 在复数集 C 中就有解 x=i 了. (3)复数的表示 复数通常用字母 z 表示，即 z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数 z=a+bi 都有 a,b∈R，其中的 a 与 b 分别叫做复数 z 的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数 a+bi，当且仅当 b=0 时，它是实数；当且仅当 a=b=0 时，它是实数 0；当 b≠0 时，它叫做虚 数；当 a=0 且 b≠0 时，它叫做纯虚数. 显然，实数集 R 是复数集 C 的真子集，即 . 复数 z=a+bi 可以分类如下： 复数 ， 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示. 2．复数相等 在复数集 C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数 a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi 与 c+di 相等当且仅当 a=c 且 b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 【题型 1 复数的分类及辨析】 【例 1】（24-25 高一下·湖南长沙·阶段练习）已知i为虚数单位，下列说法正确的是（ ） A．若 2 +1 = 0，则 = i B．实部为零的复数是纯虚数 C． = ( 2 + 1)i可能是实数 D．复数 = 2 + i的虚部是i 【解题思路】根据复数的概念即可求解. 【解答过程】A. =± i，说法不正确； B.实部为零的复数可能虚部也为零，从而是实数，说法不正确； C.当 = i时， = ( 2 + 1)i是实数，说法正确； D.复数 = 2 + i的虚部是 1，说法不正确. 故选：C. 【变式 1-1】（24-25 高一下·全国·课后作业）下列 ... ...