专题7.2 复数的四则运算【八大题型】（举一反三）（含答案）2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题 7.2 复数的四则运算【八大题型】 【人教 A 版（2019）】 【题型 1 复数的加、减运算】 ................................................................................................................................3 【题型 2 复数加、减法的几何意义的应用】 ........................................................................................................4 【题型 3 复数的乘、除运算 】 ...............................................................................................................................7 【题型 4 复数的乘方】 ............................................................................................................................................8 【题型 5 根据复数的四则运算结果求参数】 ........................................................................................................9 【题型 6 根据复数的四则运算结果求复数特征】 ..............................................................................................11 【题型 7 复数范围内分解因式】 ..........................................................................................................................12 【题型 8 复数范围内方程的根】 ..........................................................................................................................14 【知识点 1 复数的四则运算】 1．复数的加法运算及其几何意义 (1)复数的加法法则 设 ， (a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么 =(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)复数的加法满足的运算律 对任意 ∈C，有 ①交换律： ； ②结合律： . (3)复数加法的几何意义 在复平面内，设 ， (a,b,c,d∈R)对应的向量分别为 ， ，则 =(a,b)， =(c,d).以 ， 对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算， 可得 =(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即 z=(a+c)+(b+d)i，即对角线 OZ 对应的向量就是与复数 (a+c)+(b+d)i 对应的向量. 2．复数的减法运算及其几何意义 (1)复数的减法法则 类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi 的复数 x+yi(x,y∈R)叫做复数 a+bi(a,b∈R)减去复数 c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di). 根据复数相等的定义，有 c+x=a，d+y=b，因此 x=a-c，y=b-d，所以 x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di) =(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则. (2)复数减法的几何意义 两个复数 ， (a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是 ， ，那么这两个复 数的差 对应的向量是 ，即向量 . 如果作 ，那么点 Z 对应的复数就是 (如图所示). 这说明两个向量 与 的差 就是与复数(a-c)+(b-d)i 对应的向量.因此，复数的减法可以按照向 量的减法来进行，这是复数减法的几何意义. 3．复数的乘法运算 (1)复数的乘法法则 设 ， (a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i. 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把 i2换成-1，并且把实部与 虚部分别合并即可. (2)复数乘法的运算律 对于任意 ∈C，有 ①交换律： ； ②结合律： ； ③分配律： . 在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数 z，z1，z2和正整数 m,n，有 ， ， . 4．复数的除法 (1)定义 我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数 x+yi 叫做复数 a+bi 除 以复数 c+di 的商，记作(a+bi)÷(c+di)或 (a,b,c,d∈R，且 c+di≠0). (2) ... ...