专题8.2 立体图形的直观图【六大题型】（举一反三）（含答案）2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题 8.2 立体图形的直观图【六大题型】 【人教 A 版（2019）】 【题型 1 斜二测画法的辨析】 ................................................................................................................................2 【题型 2 画平面图形的直观图】 ............................................................................................................................5 【题型 3 画空间几何体的直观图】 ........................................................................................................................7 【题型 4 由直观图还原几何图形】 ......................................................................................................................10 【题型 5 斜二测画法中有关量的计算】 ..............................................................................................................13 【题型 6 平面图形的面积与其直观图的面积的关系】 ......................................................................................15 【知识点 1 立体图形的直观图】 1．空间几何体的直观图 (1)直观图的概念 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全 在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同. 在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形. (2)斜二测画法及其步骤 利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其 步骤是： ①在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴，两轴相交于点 O.画直观图时，把它们画成对应的 x'轴和 y' 轴，两轴相交于点 O'，且使∠x'O'y'= (或 )，它们确定的平面表示水平面. ②已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别面成平行于 x'轴或 y'轴的线段. ③已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段，在直观图中长度 为原来的一半. (3)旋转体及其相关概念 斜二测画法画空间几何体的直观图的规则 画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与 x 轴、y 轴都垂直的 z 轴，并且有 以下规则. ①已知图形中，平行于 x 轴、y 轴或 z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x'轴、y'轴或 z'轴的线段. ②已知图形中平行于 x 轴或 z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于 y 轴的线段，长度变为原 来的一半. ③连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 2．平面图形的面积与其直观图的面积间的关系 (1)以三角形为例，则有 .如图所示， ，它的直观图的面积 . (2)平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系： = .即若记一个平面多边 形的面积为 S 原，由斜二测画法得到的直观图的面积为 S 直，则有 S 直= S 原. 3．斜二测画法的常用结论： (1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于 x 轴的线段平行性不变，长度不变；平行于 y 轴的线段平行性不变，长度减半.” (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系： . 【题型 1 斜二测画法的辨析】 【例 1】（2024 高一下·全国·专题练习）关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是（ ） A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B．正方形的直观图为平行四边形 C．梯形的直观图不是梯形 D．正三角形的直观图一定为等腰三角形 【解题思路】根据斜二测画法的性质判断 BC 的正误，根据特例可判断 AD 的正误. 【解答过程】对于 B，由于直角在直观图中有的成为4 ... ...