专题8.7 空间直线、平面的垂直（二）【九大题型】（举一反三）（含答案）2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题 8.7 空间直线、平面的垂直（二）【九大题型】 【人教 A 版（2019）】 【题型 1 求二面角】 ................................................................................................................................................2 【题型 2 由二面角大小求线段长度或距离】 ........................................................................................................3 【题型 3 由二面角大小求其他角】 ........................................................................................................................5 【题型 4 面面垂直的判定】 ....................................................................................................................................8 【题型 5 面面垂直性质定理的应用】 ..................................................................................................................10 【题型 6 求点面、线面距离】 ..............................................................................................................................11 【题型 7 求面面距离】 ..........................................................................................................................................13 【题型 8 平行关系与垂直关系的综合应用】 ......................................................................................................14 【题型 9 立体几何中的探索性问题】 ..................................................................................................................16 【知识点 1 二面角】 1．二面角 (1) 二面角的定义 ①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面. ②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个 半平面叫做二面角的面. (2)二面角的表示 ①棱为 AB，面分别为 α，β 的二面角记作二面角 α-AB-β，如果棱记作 l，那么这个二面角记作二面角 α -l-β，如图(1). ②若在 α，β 内分别取不在棱上的点 P，Q，这个二面角可记作二面角 P-AB-Q，如果棱记作 l，那么这 个二面角记作二面角 P-l-Q，如图(2). (3)二面角的平面角 ①自然语言 在二面角 α-l-β 的棱 l 上任取一点 O，以点 O 为垂足，在半平面 α 和 β 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB，则射线 OA 和 OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角. ②图形语言 ③符号语言 ∠AOB 叫做二面角 α-l-β 的平面角. (4)二面角大小的度量 ①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面 角是直角的二面角叫做直二面角. ②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是 0°；当二面角的两个半平面合成一个平面时， 规定二面角的大小是 180°.所以二面角的平面角 α 的范围是 . 2．几何法求二面角 作二面角的平面角的方法： 作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线， 再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角. 【题型 1 求二面角】 【例 1】（24-25 高二上·山西运城·期末）如图，在四棱锥 中，已知 ⊥ 底面 ，底面 为 等腰梯形， // , = = , = 1, = = 2， 的中点为 ，则平面 与平面 所成角的余 弦值为（ ） A． 57 B． 51 C． 57 D． 51 19 17 19 17 【变式 1-1】（23-24 高一下·湖北武汉·期末）已知 △ 中， = 1， = 2， = 3， ... ...