微专题七 图形的折叠问题 模型一 折叠中的度数或线段长度问题 [模型展示] 1．图形的折叠实质是轴对称变换，即折叠前后的两个图形是全等的． (1)全等关系：△BC′D≌△BCD≌△DAB，△ABE≌△C′DE． (2)线段相等：C′D＝CD，BC′＝BC． (3)角相等：∠1＝∠2，∠3＝∠4． (4)特殊三角形：△BED是等腰三角形． 2．折痕是两对称点连接线段的垂直平分线，即BD垂直平分CC′． 3．折痕可看成折叠前后对应线段夹角的平分线． 【典例1】 如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α＋β＝118°，则∠EMF的度数为( ) A．59° B．58° C．57° D．56° D [∵AD∥BC， ∴∠DEG＝α，∠AFH＝β， ∴∠DEG＋∠AFH＝α＋β＝118°， 由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH， ∴∠DEM＋∠AFM＝2×118°＝236°， ∴∠FEM＋∠EFM＝360°－236°＝124°， 在△EFM中， ∠EMF＝180°－(∠FEM＋∠EFM)＝180°－124°＝56°． 故选D．] [跟踪训练] 1．已知一张三角形纸片ABC(如图甲)，其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD(如图乙)．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF(如图丙)．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为( ) A．60° B．72° C．36° D．90° B [∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， 由折叠得∠BED＝∠C，∠EDF＝∠A， ∴∠BED＝∠EDF＋∠A＝2∠A， ∴∠ABC＝∠C＝2∠A， ∵∠ABC＋∠C＋∠A＝180°， ∴2∠A＋2∠A＋∠A＝180°， ∴∠A＝36°， ∴∠ABC＝2∠A＝72°． 故选B．] 2．如图，将一张长方形纸条折叠，若边AB∥CD，则翻折角∠1与∠2一定满足的关系是( ) A．∠1＝2∠2 B．∠1＋∠2＝90° C．∠1－∠2＝30° D．2∠1－3∠2＝30° B [∵AB∥CD， ∴∠BAC＋∠DCA＝180°， ∵∠BAC＝180°－2∠1，∠DCA＝180°－2∠2， ∴180°－2∠1＋180°－2∠2＝180°， ∴∠1＋∠2＝90°． 故选B．] 【典例2】 如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，沿AD和EF将纸片折叠，使点B和点C都落在边BC上的点P处，则AE的长是( ) A． B． C． D． A [∵沿过点A的直线AD将纸片折叠，使点B落在边BC上的点P处， ∴AP＝AB＝2，∠B＝∠APB， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴CE＝PE，∠C＝∠CPE， ∵∠BAC＝90°， ∴∠B＋∠C＝90°， ∴∠APB＋∠CPE＝90°， ∴∠APE＝90°， ∴AP2＋PE2＝AE2． 设AE＝x， 则CE＝PE＝3－x， ∴22＋(3－x)2＝x2， 解得x＝， 即AE＝． 故选A．] [跟踪训练] 1．如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展平．点E是AD上一点，且ED＝2AE，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点F恰好落在MN上．若BC＝6，则FN的长是( ) A． B． C．3 D．2 C [连接AF， ∵四边形ABCD是矩形，BC＝6， ∴AD＝BC＝6，∠BAD＝∠D＝90°， ∵点E是AD上一点，且ED＝2AE， ∴AE＋2AE＝6， ∴AE＝2， 由折叠得FB＝AB，点A与点B关于直线MN对称， ∴MN垂直平分AB， ∴∠AMN＝90°，FB＝FA， ∴FB＝AB＝FA，四边形ADNM是矩形， ∴△ABF是等边三角形，MN＝AD＝6， ∴∠ABF＝∠BAF＝60°， ∴∠ABE＝∠FBE＝∠ABF＝30°， ∴BE＝2AE＝4， ∴FA＝AB＝＝＝2， ∴AM＝BM＝AB＝， ∵＝tan 60°＝， ∴MF＝AM＝＝3， ∴FN＝MN－MF＝6－3＝3． 故选C．] 2．如图，把一张矩形纸片ABCD按如下方法进行两次折叠：第一次将DA边折叠到DC边上得到DA′，折痕为DM，连接A′M，CM，第二次将△MBC沿着MC折叠，MB边恰好落在MD边上．若AD＝1，则AB的长为( ) A． B． C． D．－1 B [∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ADC＝∠BAD＝90°，AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC． 由第一次折叠可知，∠DA′M＝∠DAM＝90°， ... ...
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