第六节 相似三角形 考点一 比例线段 1．比例线段定义：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 2．比例的基本性质 (1)基本性质： ad＝bc．(b，d≠0)． (2)合比性质： ．(b，d≠0)． (3)等比性质：(b，d，…，n≠0) (b＋d＋…＋n≠0)． 3．黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比． 考点二 平行线分线段成比例定理 1．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．如图所示，若l3∥ l4∥ l5，则． 2．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．如图所示，若AB∥ CD，则． 考点三 相似三角形的性质和判定 1．相似三角形的判定 (1)定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形相似．对应线段的比叫做相似比． (2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． (3)判定定理 ①两角分别相等的两个三角形相似． ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． ③三边成比例的两个三角形相似． 2．相似三角形的性质 (1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 考点四 图形的位似 1．定义：如果两个相似多边形任意一组对应顶点A，A′的连线都经过同一个点O，且有OA′＝k·OA(k≠0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心．实际上，k就是这两个相似多边形的相似比． 2．性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比． 1．(鲁教版八下P87习题9.1T2改编)下列长度的线段中，不能构成比例的是( ) A．3，4，6，2 B．4，5，6，10 C．1 D．4，12，9，3 B [A．6×2＝3×4，即则能构成比例； B．4×10≠5×6，故不能构成； C．1×即能构成比例； D．3×12＝4×9，即能构成比例． 故选B．] 2．若则等于( ) A． B． C． D． C [∵ ∴5(x－2y)＝2y， ∴5x＝12y， ∴． 故选C．] 3．如图，a∥b∥c，AB＝3，BC＝2，CD＝1，那么下列式子中不成立的是( ) A．EC∶CG＝5∶1 B．EF∶FC＝1∶1 C．EF∶FC＝3∶2 D．EF∶EC＝3∶5 B [∵a∥c，AB＝3，BC＝2，CD＝1， ∴EC∶CG＝AC∶CD＝5∶1，A成立； ∵a∥b，AB＝3，BC＝2， ∴EF∶FC＝AB∶BC＝3∶2，B不成立，C成立； ∵EF∶FC＝3∶2， ∴EF∶EC＝3∶5，D成立． 故选B．] 4．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与图中△ABC相似的是( ) A． B． C． D． B [由勾股定理得AC＝∴AB∶BC∶AC＝1∶∶A．三边之比为1∶∶2图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似；B．三边之比为1∶∶图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似；C．三边之比为∶∶3，图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似；D．三边之比为2∶∶图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似．] 5．(鲁教版八下P124例改编)如图，按如下方法将△ABC的三边缩小为原来的．任取一点O，连接OA，OB，OC． 并取它们的中点D，E，F，得△EDF，下列说法： ①△ABC与△DEF是位似图形； ②△ABC与△DEF是相似图形； ③△ABC与△DEF的周长之比为2∶1； ④△ABC与△DEF的面积比为4∶1． 其中正确的有_____． ①②③④ [∵将△ABC的三边缩小为原来的任取一点O，连接OA，OB，OC，并取它们的中点D，E，F，得△EDF， ∴△ABC∽△DEF，相似比为2∶1， ∴面积比为4∶1． ∴①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长之比为2∶1；④△ABC与△DEF的面积比为4∶1． ∴其中正确的有①②③④ ... ...
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