第二节 矩形、菱形和正方形 考点一 矩形的性质和判定 1．矩形的定义和性质 (1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． (2)矩形的性质： ①矩形具有平行四边形的所有性质． ②角：矩形的四个角都是直角． ③对角线：矩形的对角线相等． 2．矩形的判定 (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形． (2)有三个角是直角的四边形是矩形． (3)对角线相等的平行四边形是矩形． 考点二 菱形的性质和判定 1． 菱形的定义和性质 (1)菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． (2)菱形的性质： ①菱形具有平行四边形的所有性质． ②菱形的四条边都相等． ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． ④菱形面积S＝ab．(a，b是两条对角线的长度) 2．菱形的判定 (1)一组邻边相等的平行四边形是菱形(平行四边形＋一组邻边相等＝菱形)． (2)四条边都相等的四边形是菱形． (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 考点三 正方形的性质和判定 1．正方形的定义和性质 (1)正方形的定义：有一组邻边相等的矩形叫做正方形． (2)正方形的性质： ①正方形的四个角都是直角，四条边都相等． ②正方形的对角线相等且互相垂直平分． 2． 正方形的判定 (1)对角线相等的菱形是正方形． (2)对角线垂直的矩形是正方形． (3)有一个角是直角的菱形是正方形． 1．下列命题，其中是真命题的是( ) A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相平分的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 D [对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A选项不符合题意； 有三个角是直角的四边形是矩形，故B选项不符合题意； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C选项不符合题意； 对角线互相垂直的矩形是正方形，故D选项符合题意． 故选D．] 2．如图，已知矩形纸片ABCD的两边AB＝4，BC＝2，过点B折叠纸片，使点A落在边CD上的点F处，折痕为BE，则EF的长为( ) A．8－4 B．2 C．4－6 D． A [∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝2，CD＝AB＝4，∠D＝∠C＝90°． 由折叠的性质可知：BF＝AB＝4，AE＝EF， ∴CF＝＝2．设AE＝EF＝x， 在Rt△DEF中， ∵DE2＋DF2＝EF2， ∴(2－x)2＋(4－2)2＝x2， ∴x＝8－4， 故选A．] 3．如图，点E为正方形ABCD外一点，且ED＝CD，连接AE，交BD于点F．若∠CDE＝42°，则∠BFC的度数为( ) A．72° B．71° C．70° D．69° D [在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，∠ADB＝∠CDB＝45°， ∵∠CDE＝42°，∴∠ADE＝90°＋42°＝132°， ∵ED＝CD，∴AD＝ED， ∴∠DAE＝(180°－132°)÷2＝24°． 在△ADF和△CDF中， ∴△ADF≌△CDF(SAS)， ∴∠DCF＝∠DAF＝24°， ∴∠BCF＝90°－24°＝66°， ∴∠BFC＝180°－45°－66°＝69°， 故选D．] 4．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AD和CD上的点，且∠ABE＝∠CBF．求证：DE＝DF． [证明] ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠C， 又∵∠ABE＝∠CBF， ∴△ABE≌△CBF(ASA)， ∴AE＝CF， ∴AD－AE＝CD－CF，∴DE＝DF． 5．(北师大版九上例题)如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF．BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由． [解] BE＝DF，且BE⊥DF．理由如下： (1)∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四条边相等，四个角都是直角)． ∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°． ∴∠BCE＝∠DCF． 又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF． ∴BE＝DF． (2)延长BE交DF于点M(如图)． ∵△BCE≌△DCF， ∴∠CBE＝∠CDF． ∵∠DCF＝90°， ∴∠CDF＋∠F＝90°． ∴∠CBE＋∠F＝90°． ∴∠BMF＝90°． ∴BE⊥DF． 命题点1 矩形的性质和判定 【典例1】 ... ...
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