专题6.3 二项式定理【十一大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第三册）（含答案）2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题 6.3 二项式定理【十一大题型】 【人教 A 版（2019）】 【题型 1 求二项展开式】 ........................................................................................................................................1 【题型 2 求展开式的特定项或特定项的系数】 ....................................................................................................2 【题型 3 根据二项式的特定项求值】 ....................................................................................................................4 【题型 4 用赋值法求系数和问题】 ........................................................................................................................6 【题型 5 多项式积的展开式中的特定项问题】 ....................................................................................................7 【题型 6 求展开式中系数最大（小）的项】 ........................................................................................................9 【题型 7 三项展开式的系数问题】 ......................................................................................................................10 【题型 8 利用二项式定理证明整除问题或求余数】 ..........................................................................................12 【题型 9 近似计算问题】 ......................................................................................................................................14 【题型 10 证明组合恒等式】 ................................................................................................................................15 【题型 11 杨辉三角问题】 ....................................................................................................................................16 【知识点 1 二项式定理】 1．二项式定理 一般地，对于任意正整数 n，都有 .(*) 公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做 的二项展开式，其中各项的系数 (k∈{0,1,2, ,n})叫做二项式系数， 叫做二项展开式的通项，用 表示，即通项为展开式的第 k+1 项： . (2)二项展开式的规律 ①二项展开式一共有(n+1)项. ②(n+1)项按 a 的降幂 b 的升幂排列. ③每一项中 a 和 b 的幂指数之和为 n. 【题型 1 求二项展开式】 【例 1】（23-24 高二下·北京通州·期中）二项式( + 2)3的展开式为（ ） A． 3 +6 2 +6 + 8 B． 3 +6 2 +12 + 8 C． 3 +12 2 +6 + 8 D． 3 +12 2 +12 + 8 【解题思路】由二项式定理求解. 【解答过程】二项式( + 2)3 = C0 3 + C13 3 2 × 2 + C2 2 3 33 × 2 + C3×2 ， = 3 +6 2 +12 + 8. 故选：B. 【变式 1-1】（2024·湖南·模拟预测）下列不属于( 2)3的展开式的项的是（ ） A． 3 B．6 2 C．12 D． 8 【解题思路】按照二项式定理直接展开判断即可. 【解答过程】由二项式定理可知，( 2)3 = 3 6 2 +12 8，故6 2不是展开式的项. 故选：B. 【变式 1-2】（23-24 高二下·江苏南京·期中）化简( + 1)4 4( + 1)3 +6( + 1)2 4( + 1) +1的结果为 （ ） A．x4 B．( 1)4 C．( + 1)4 D． 4 1 【解题思路】逆用二项展开式定理即可得答案. 【解答过程】( + 1)4 4( + 1)3 +6( + 1)2 4( + 1) +1 = ( + 1)4 + C14( + 1)3 × ( 1) + C24( + 1)2 × ( 1)2 + C3 34( + 1) × ( 1) + ( 1)4 = [( + 1) 1]4 = 4 故选：A. 【变式 1-3】（24-25 高二下·山西朔州·阶段练习）C1 ... ...