第二章 §8 A组·基础自测 一、选择题 1．函数f(x)＝－x3＋3x＋2的单调递增区间为( C ) A．(－∞，－1) B．(－1,0) C．(－1,1) D．(1，＋∞) [解析] f′(x)＝－3x2＋3＝－3(x2－1)，令f′(x)>0，∴－3(x2－1)>0，∴x2－1<0，∴－1
0)， 则g′(x)＝＝， 当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增． 所以g(x)min＝g(1)＝e，所以k≤e. 3．已知函数f(x)＝－mx(e为自然对数的底数)，若f(x)<0在(0，＋∞)上有解，则实数m的取值范围是( C ) A．(e，＋∞) B．(－∞，e) C. D． [解析] 由f(x)＝－mx<0在(0，＋∞)上有解，可得，m>在(0，＋∞)上有解，令g(x)＝，x>0，则m>g(x)min，g′(x)＝，则当02时，g′(x)>0，函数单调递增，故当x＝2时，函数g(x)取得最小值，g(2)＝.故m>. 4．(多选)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则( AC ) A．f(x)有两个极值点 B．f(x)有三个零点 C．点(0,1)是曲线y＝f(x)的对称中心 D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线 [解析] f ′(x)＝3x2－1，令f′(x)>0， ∴x<－或x>， 令f ′(x)<0，∴－0， ∴f(x)有两个极值点，有一个零点． 又f(x)＋f(－x)＝2，∴点(0,1)是曲线y＝f(x)的一个对称中心． 当切线斜率k＝2时，设切点为(x0，y0)， y′＝3x2－1，∴k＝3x－1＝2，∴x＝1，∴x0＝±1. ∴切点为(1,1)或(－1,1)， ∴切线方程为y＝2x－1或y＝2x＋3， 故选AC. 二、填空题 5．已知函数f(x)＝＋a在(0，＋∞)上的最小值为2e，则实数a的值为_e__. [解析] f ′(x)＝，当x>0时，令f ′(x)>0，解得x>1，令f ′(x)<0，解得00，g(x)单调递增， 当x>1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，x＝1时，g(1)＝1为极大值也是最大值， x→＋∞时，g(x)→0，且g(x)>0，当x→0时，g(x)→－∞， 所以当0<2a<1，即00， 故即， 故≤a<1， 结合题意可得实数a的取值范围是. 三、解答题 8．已知函数f(x)＝aln x＋bx，g(x)＝x2－，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x－2y－2＝0. (1)求a，b的值； (2)证明：f(x)≤g(x)． [解析] (1)f ′(x)＝＋b，则a＋b＝， f(1)＝b＝－，解得a＝1，b＝－. (2)证明：令h(x)＝ln x－x－x2＋， 则h′(x)＝－－x＝， 又x>0，则h(x)在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减， 所以h(x)≤h(1)＝0，f(x)≤g(x)成立． 9．已知函数f(x)＝aln x－，a∈R. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当a＝1，且x≥2时，证明：f(x－1)≤2x－5. [解析] (1)由于f ′(x)＝. 当a≥0时，对于x∈(0，＋∞)，有f ′(x)>0恒成立， 即f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 当a<0时，由f ′(x)＝0，得x ... ... 