2025年中考数学复习--板块二十一 路径与最值（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 板块二十一 路径与最值 难点突破1 “一动一定”型 模型：“垂线段最短” 条件：A是定点，直线 l 是动点 P 的运动路径. 结论:当AP⊥l时,AP 的长度最小(即AP'的长). 典例精讲 类型一 显性“一动一定”(显动点) 【例】 (2024江西改)如图,在△ABC 和. 中， EC,且D 是AB上的一动点,点 F 与点C 关于DE 对称,连接DF,EF.若 则四边形CDFE 面积的最小值为 . 典题精练 类型二 隐性“一动一定”(隐定点) 1.(2024新洲区)如图,在△ABC 中, ,D 为边AB 上一点,将线段CD绕点C顺时针旋转45°得到线段CE，连接AE，则AE 的最小值为 . 类型三 隐性“一动一定”(隐定直线) 2.(2024长春改)【方法点拨】几何中的双动点问题往往转化为单动点问题解决，平移是转化的工具之一，通过构造平行四边形再发现动点的运动路径，进而解决问题. 【方法运用】如图， 是等腰三角形，四边形 BCDE 是矩形， 30°. M,N 分别是边 AC,DE上的一动点,且. ，则MN 的最小值为 . 难点突破2 “两定一动”型 模型 1“两点之间，线段最短” 条件：A，B是定直线 l 异侧的两个定点，P 是l上的一动点. 结论:P A+P B =AB≤PA+PB. 模型 2“将军饮马” 条件：A，B是定直线l 同侧的两个定点，P是l上的一动点. 结论：P A+P B=A B≤PA+PB. 典例精讲 类型一 显定点显定线 【例】 (2024 广安)如图,在 ABCD 中, ,点 M 为直线 BC 上的一动点，则MA+MD 的最小值为 . 典题精练 类型二 隐定点显定线 1.(2024泸州)如图,在边长为6的正方形ABCD中,E,F 分别是边AB,BC上的一动点,且 BF,AF 与DE 交于点O. M 是DF 的中点,G 是AB 上的一点,且 则 的最小值是 . 类型三 显定点隐定线 2.(2024江岸区)如图,在 中， ,E 是边 AD 上一点,且 P 是边AB 上的一动点，将线段EP 绕点E 逆时针旋转( 得到线段 EF,连接 BF,CF,则 BF+CF 的最小值为 . 难点突破3 “两动一定”型 问题提出： P 是∠AOB 的内部(或边上)的一定点， 在 OA,OB 上分别找一点M,N, 使 PM+MN 或 PN+NM 最小. 模型建立： 作点 P 关于OA对称的点 P ，过点 P 作 P N⊥OB 于点 N,交 OA 于点M,则 PM+MN 的最小 值为P N 的长. 作点 P 关于OB对称的点 P ，过 点 P 作 P M⊥OA 于点 M,交 OB 于 点 N,则PN+NM 的最小值为P M 的长. 典例精讲 【例】 (2023 东湖高新区)如图,点 E 在矩形 ABCD 的边CD 上,将 沿AE 折叠,点 D的对应点 F 恰好落在BC边上，M，N 分别是线段AE，AF 上的动点.若 则 MF+MN 的最小值为 . 典题精练 1.(2023滨州)如图, 点M 在OB 上,且OM=3,P,Q分别是OA,OB 上的一动点.当 MP+PQ 最小时,OP 的长为 . 2.(2024青山区)如图,在矩形ABCD 中,E 是边 AD 上的一动点,F 是对角线 BD 上的一动点,连接 BE,EF.若AB=5,tan∠ABD=2,则当 BE+EF 取得最小值时,DF 的长为 . 难点突破4 “定点定长”型(隐圆) 模型 1“一中同长” 条件：O是定点，M 是动点，且OM=r(定值). 结论：点M 的运动路径是以r 为半径的⊙O. 模型2“一箭穿心” 条件:M是半径为r的⊙O上的一动点(OM=r 定值),P 是定点(OP =d定值). 结论： PM的最小值=PM =|d-r|, PM的最大值=PM =d+r. 典例精讲 类型一 显定点显定长 【例】 (2024济南模拟)如图,正方形纸片ABCD 的边长为4,点 E 在边AD 上,点 F 在边CD 上.将正方形纸片ABCD沿EF 翻折,点 B 的对应点为点G,连接 DG.若 则DG 的最小值为 . 典题精练 类型二 显定点隐定长 1.(2023淮安)如图,AB=BC=2,∠ABC=120°,BH 为 内部的一条射线( 60°),点C 关于BH 的对称点为C',直线 AC'与射线 BH 交于点F,连接CC',CF,则 面积的最大值为 . 类型三 隐定点隐定长 2.如图,在边长为3的正方形ABCD 中,E,F 分别是边AD,CD 上的动点,且 连接BE,过点 F 作 于点G，连接AG，则AG 的最小值为 . 难点突破5 “定弦定角”型(隐圆) 问题提出： 在△ABC ... ...