第17章 勾股定理（6考点梳理+题型训练+过关测试）（含解析）2024-2025学年八年级数学下册期末章节复习讲与练

17章 勾股定理 【考点梳理】 考点一：勾股定理 勾股定理的内容：在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方。如图： 如图，在中，∠C＝90°，所对的边分别是，则有。 ；； 考点二：勾股定理与特殊三角形 勾股定理与含30°直角三角形：由勾股定理可得30°所在直角三角形三边（从小到大）的比值为： 。 勾股定理与等腰直角三角形：由勾股定理可得等腰直角三角形三边（从小到大）的比值为：。 勾股定理与等边三角形：若等边三角形的边长为，则结合勾股定理与30°所在直角三角形可得等边三角形的面积为：。 考点三：两点间的距离公式 若平面直角坐标系中点与点，利用勾股定理可得两点间的距离公式为：（注意公式中坐标前后对应） 考点四：勾股定理的证明 证明勾股定理常用图形和方法： 图形：（常用图形） 方法：等面积法证明勾股定理。即用整体法与图形面积加和法分别表示图形的面积建立等式证明。 考点五：勾股定理逆定理 在△ABC中，若三角形的三边分别是且满足，则△ABC是直角三角形且∠C是直角。 勾股定理逆定理用来判断一个三角形是不是直角三角形。 判定直角三角形的方法：①勾股定理逆定理； ②有一个角是直角（有两个角互余）的三角形是直角三角形。 考点六：勾股数 满足勾股定理的三个正整数是一组勾股数。 注意：①一定满足勾股定理； ②一定是正整数。 勾股数的常见类型（3，4，5） ①3，4，5的倍数型： ②奇数型：（n为大于等于3的奇数） ③偶数型：（n为大于等于3的偶数） 注意：以上三种类型的任何正数被均满足勾股定理，但不一定是勾股数。 【题型训练】 考点一：勾股定理 【考试题型1】求直角三角形的第三边 例题讲解：1．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为（　　） A．4 B． C．4或 D．2或2 【分析】由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分5是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论． 【解答】解：∵个直角三角形的两边长分别为3和5， ∴①当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：x＝＝4； ②当5是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：x＝＝． 故选：C． 2．在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝4，则BC＝（　　） A．3 B．1 C． D．或3 【分析】分5是直角边和5是斜边两种情况进行分类讨论． 【解答】解：当5为直角边时， BC＝， 当5为斜边时， BC＝＝3， 综上所述，BC的长为或3． 故选：D． 【解题方法】先确定直角三角形的斜边，然后利用公式计算。 【考试题型2】求线段长度 例题讲解：3．如图：4×1网格中每个正方形边长为1，表示长的线段是（　　） A．OA B．OB C．OC D．OD 【分析】利用勾股定理求出每条线段的长，再进行判断即可． 【解答】解：由勾股定理得， ， ， ， ∴表示应为线段OB． 故选：B． 【解题方法】判断线段所在的三角形为直角三角形，并求出另两边，然后在利用勾股定理求值。 【考试题型3】求“树状”图形面积 例题讲解：4．如图、在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S3+S2﹣S1＝18．则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C．5 D． 【分析】由勾股定理得S1+S2＝S3，再由S3+S2﹣S1＝18求出S2＝9，即可解决问题． 【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+AB2＝BC2， 即S1+S2＝S3， ∵S3+S2﹣S1＝18， ∴S2＝9， 由图形可知，阴影部分的面积＝S2， ∴阴影部分的面积＝， 故选：B． 【解题方法】利用两直角边向外作的图形（等腰直角三角形、等边三角形、正方形、半圆等)的面积之和等于斜边向外作的图形的面积进行求解。 【考试题型4】确定数轴上的点表示的无理数 例题讲解：5．如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径 ... ...