2025年高考数学二轮热点题型归纳与演练(上海专用)专题08空间向量与立体几何(十大题型)(原卷版+解析)

专题08 空间向量与立体几何 (十大题型) 题型01 2021-2024年高考+春考真题 1 题型02 空间向量的运算 3 题型03 求几何体的表面积与体积 3 题型04 空间的位置关系 4 题型05 空间向量基本定理 5 题型06 立体几何、导数结合的实际应用 5 题型07 空间向量数量积的应用（含难点） 8 题型08 个数、种类等问题 8 题型09 轨迹、围成面积等问题 9 题型10 空间向量与立体几何选择题综合辨析 9 【解题规律·提分快招】 由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确． 利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素)． 向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理． 多面体的表面积是各个面的面积之和． 旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和． 组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理． 7、题源注明：立体几何与导数结合的实际应用中，选用适量解答题来练习填选题 题型01 2021-2024年高考+春考真题 【典例1-1】．（2024 上海）定义一个集合Ω，集合元素是空间内的点集，任取P1，P2，P3∈Ω，存在不全为0的实数λ1，λ2，λ3，使得．已知（1，0，0）∈Ω，则（0，0，1） Ω的充分条件是（　　） A．（0，0，0）∈Ω B．（﹣1，0，0）∈Ω C．（0，1，0）∈Ω D．（0，0，﹣1）∈Ω 【典例1-2】．（2024 上海）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1底面ABCD为平行四边形，AA1＝3，BD＝4且，求异面直线AA1与BD的夹角 　 　． 【典例1-3】．（2023 上海）空间中有三个点A、B、C，且AB＝BC＝CA＝1，在空间中任取2个不同的点D，E（不考虑这两个点的顺序），使得它们与A、B、C恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有 　 　种． 【典例1-4】．（2023 上海）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为边A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（　　） A．DD1 B．AC C．AD1 D．B1C 【典例1-5】．（2022 上海）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、BB1、CD的中点，连接A1S，B1D．空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段A1S、B1D上，则称MN两点可视，则下列选项中与点D1可视的为（　　） A．点P B．点B C．点R D．点Q 【典例1-6】．（2022 上海）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（　　） A．0 B．2 C．4 D．12 【典例1-7】．（2021 上海）已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，AB为上底面圆的一条直径，C是下底面圆周上的一个动点，则△ABC的面积的取值范围为 　　 　　． 【典例1-8】．（2021 上海）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为 　　 　　． 题型02 空间向量的运算 【典例2-1】．（2024·上海徐汇·一模）已知向量，若，则实数的值为 . 【变式2-1】．（24-25高三上·上海宝山·期中）已知向量，，则在方向上的投影向量为 . 【变式2-2】．（2025·上海高考复习·专题练习）已知空间单位向量，，两两垂直，则（ ） A． B． C．3 D．6 题型03 求几何体的表面积与体积 【典例3-1】．（2024·上海虹口·一模）若某圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的侧面积为 ．（结果保留） 【典例3-2】．（24-25高三上·上海松江·期末）已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为，则该圆锥的高为 ． 【变式3-1】．（24-25高三上·上海·期中）若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为5的扇形，则它的体积为 ． 【变式3-2 ... ...