2025届中考复习专题10：二次函数中的存在性问题 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 解题策略梳理 模块一 三角形存在性问题 【题型1】 等腰直角三角形 【题型2】 等腰三角形存在性问题 【题型3】 直角三角形存在性问题 【题型4】 相似三角形存在性问题 模块二 特殊四边形存在性问题 【题型5】 平行四边形存在性问题 【题型6】 正方形存在性问题 【题型7】 矩形存在性问题 【题型8】 菱形存在性问题 模块三 角的存在性问题 【题型9】转化为相似或全等三角形 【题型10】转化为等腰三角形问题 【题型11】化为正切值或斜率 【题型12】角的存在性问题之与特殊角结合 【题型13】角的存在性问题之2倍角与半角 【题型14】顶点是动点———构造圆 解题策略梳理 一、等腰三角形的存在性问题：几何法与代数法讲解 【问题描述】 如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形． 【几何法】“两圆一线”得坐标 （1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC； （2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC； （3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB． 【注意】若有三点共线的情况，则需排除． 作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求． 同理可求，下求． 显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A、B均往下移一个单位，当点A坐标为（1,0），点B坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解： 而对于本题的，或许代数法更好用一些． 二、直角三角形存在性问题：几何法与代数法讲解 【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1,1），点B坐标为（5,3），在x轴上找一点C使得△ABC是直角三角形，求点C坐标． 【几何法】两线一圆得坐标 （1）若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C； （2）若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C； （3）若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角） 重点还是如何求得点坐标，求法相同，以为例： 【构造三垂直】 求法相同，以为例： 构造三垂直步骤： 第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线； 第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似． 【代数法】表示线段构勾股 还剩下待求，不妨来求下： （1）表示点：设坐标为（m，0），又A（1，1）、B（5，3）； （2）表示线段：，，； （3）分类讨论：当为直角时，； （4）代入得方程：，解得：． 三、等腰直角三角形在性问题方法突破 【三垂直构造等腰直角三角形】通过对下面数学模型的研究学习，解决问题． 【模型呈现】如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转得到AD，过点D作DE⊥AC于点，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=DE，BC=AE． 我们把这个数学模型成为“K型”． 推理过程如下： 【模型迁移】 【兰州中考（删减）】二次函数的图像交轴于点A（-1,0），B（4,0）两点，交轴于点．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，设运动的时间为秒． （1）求二次函数的表达式； （2）在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标． 【分析】 （1）； （2）本题直角顶点P并不确定，以BC为斜边作等腰直角三角形，直角顶点即为P点，再过点P作水平线，得三垂直全等． 设HP=a，PQ=b，则BQ=a，CH=b， 由图可知：，解得：． 故D点坐标为（1,3）． 同理可求此时D点坐标为（3,2）． 思路2：等腰直角的一半还是等腰直角． 如图，取BC中点M点，以BM为一直角边作等腰直角三 ... ...
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