2025届中考复习专题11：二次函数中的定点、定值，焦点与准线 模块一 定值问题 6 【题型1】 面积定值 6 【题型2】 线段长为定值 14 【题型3】 线段和定值 21 【题型4】 加权线段和定值 31 【题型5】 线段乘积为定值 34 【题型6】 比值为定值 44 【题型7】 横（纵）坐标定值 53 【题型8】 角度为定值 61 【题型9】 线段倒数平方和为定值 67 【题型10】 其它定值问题 73 模块二 定点问题 78 【题型11】 直线过定点问题 78 【题型12】 已知定值求定点 91 模块三 抛物线的焦点准线及新定义问题 103 【题型13】 焦点与准线基本性质证明 103 【题型14】 利用焦点与准线性质求最值 106 【题型15】 焦点准线的其它性质（倒数和为定值，焦点弦为直径的圆与准线相切） 114 【题型16】 焦点准线的新定义问题 119 一、定值问题 一般来说，二次函数求解几何线段代数式定值问题属于定量问题，方法采用: 1.参数计算法：即在图形运动中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)作为参数,将要求的定值用参数表示出，然后消去参数即得定值。 2.韦达定理法：当涉及到直线(一次函数图象或x轴)与二次函数交点时，先联立方程消去y之后整理得到一元二次方程，借助韦达定理可得到交点横坐标与参数的关系，可以将要求的定值代数式用交点横坐标的和或积表示，往往会刚好抵消掉参数，则得到定值。 简单的引例1如下：若线段AB＝x＋2，线段PQ＝－x＋7，那么AB＋PQ＝x＋2－x＋7＝9；即线段AB与线段PQ的和等于9，是一个定值． 简单的引例2如下：求证不论m取任何实数，二次函数y＝x －2（m＋1）x＋m（m＋2）的图象与x轴的两个交点之间的距离d为定值。通过令y＝0，可以求得方程的两个实数根分别为x1＝m，x2＝m＋2，则两个交点之间的距离d＝x1－x2＝|m－m－2|＝2，是一个定值 二、定点问题 函数的解析式中除自变量外，还有待定的系数，此时函数的图象会随着待定的系数的变化而变化。图象变化过程中，有时始终会经过某个固定的点，定点问题是一个难点。 方法：使待定的系数k失去影响力 【例】证明：无论k取何值，抛物线都经同一定点. 第一步：先找出所有含k的项，再提公因式k 第二步：令与k相乘的因式为0，此时k就不起作用了 令，此时 在一个函数中，知x可求y，这个坐标就是定点，故无论k取何值，函数都经过定点 总结：因为当x取某个值时，使含k项全部抵消了，即k不起作用了! 【例2】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）． 证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标； 【思路点拨】将抛物线的解析式变形为：y=－x2+m（2x+3），进而根据2x+3=0，求得x的值． 【详解】证明：∵y=-x2+m（2x+3），∴当2x+3=0时，即时，， ∴无论m为何值，抛物线必过定点D，点D的坐标是 【例3】已知二次函数，其中．求证：二次函数的顶点在第三象限 【思路点拨】先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为，然后分别证明顶点坐标的横纵坐标都小于0即可； 【详解】解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为． ∵，∴，∴，∴． ∵，∴二次函数的顶点在第三象限． 三、 二次函数的焦点与准线 我们已经知道二次函数的图像是抛物线，一种特别的曲线，其本身还具有这样的性质：抛物线上的任意一点到平面中某个定点和某条定直线的距离始终相等．这个点称为抛物线的焦点，这条直线称为抛物线的准线，本文将讨论一些与抛物线的焦点和准线相关的问题．焦点和准线属于高中内容，高中内容下放也是中考中所常见的． 我们知道，二次函数的图像是抛物线，它也可以这样定义：若一个动点M(x，y)到定点的距离与它到定直线的距离相等，则动点M形成的图形就叫抛物线 结论1：对于抛物线焦点坐标为，准线为直线 焦点一般用字母F表示．而且实际题目中二次项系数很多时候是只是为了焦点坐标 ... ...
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