6.3.2 二项式系数的性质 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册

中小学教育资源及组卷应用平台 6.3.2 二项式系数的性质 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册 一、单选题 1．在的二项展开式中，二项式系数最大的项的项数是（ ）． A．5 B．6 C．7 D．5或7 2．已知二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则为（ ） A． B． C． D． 3．的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（ ） A．0 B． C． D．32 4．已知，则（ ） A．31 B．32 C．15 D．16 5．已知的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数项为（ ） A．－34 B．－672 C．84 D．672 6．某放射性物质的质量每年比前一年衰减，其初始质量为，年后的质量为，则下列各数中与最接近的是（ ） A． B． C． D． 7．已知为正整数，若，则的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．设，则（ ） A．21 B．64 C．78 D．156 二、多选题 9．已知，则下列结论成立的是（ ） A． B． C． D． 10．下列关系式成立的是（ ） A．＋2＋22＋23＋…＋2n＝3n B．2＋＋2＋＋…＋＋2＝3·22n-1 C．·12＋·22＋·32＋…＋n2＝n·2n-1 D．()2＋()2＋()2＋…＋()2＝ 三、填空题 11．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为 12．的展开式中系数最小项为第 项． 13．设，则除以9所得的余数为 ． 14．设,且,若能被整除,则 . 四、解答题 15．已知的展开式的二项式系数和为64. (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 16．在的展开式中， (1)系数的绝对值最大的项是第几项？ (2)求二项式系数最大的项. (3)求系数最大的项. 17．已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 18．已知. （1）若，求的系数. （2）当，时，求除以7所得的余数. 19．（1）证明：能被整除； （2）求的近似值（精确到0.001）. 参考答案 1．B 由二项式系数的单调性即可得解. 在的二项展开式中，当n为偶数时，中间一项的二项式系数取最大值； 当n为奇数时，中间的两项的二项式系数值相等，且同时取得最大值． 的展开式有11项，所以二项式系数最大的项的项数是6. 故选：B． 2．A 分析可知，二项式的展开式共项，即可求出的值. 因为二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大， 则二项式的展开式共项，即，解得. 故选：A. 3．D 根据的二项展开式系数之和为求解即可 的二项展开式中所有项的二项式系数之和为 故选：D 4．A 根据二项式定理的逆用即可得到，进而可求n=5，根据二项式系数即可求解. 逆用二项式定理得，即，所以n=5，所以． 故选:A 5．B 由二项式系数公式求得，再根据通项公式令指数为0解出参数然后代回公式求得常数项. 由已知，，则，所以. 令，得，所以常数项为， 故选：B． 【点晴】方法点晴：求二项式展开式的指定项问题，一般由通项公式建立方程求参数，再代回公式求解. 6．C 根据二项式定理即可估算近似值. 由题意可知 故选：C 7．C 由，根据二项式定理，将式子展开，估算，进而可得，再由题意，即可得出结果. 因为 ， 而， 所以， 因此， 又为正整数，，所以； 故选：C. 本题主要考查近似计算的问题，灵活运用二项式定理即可，属于常考题型. 8．A 首先写出展开式的通项，再根据等差数列前项和公式计算可得； 解：的展开式的通项为，， 所以. 故选：A. 9．ABD 变换得到，令，可得A正确，，B正确，令，计算C错误，两边同时求导，令，得到D正确，得到答案. ， 展开式的通项为， 对选项A：令，可得，正确； 对选项B：，所以，正确； 对选项C：令，可得，错误； 对选项D：，两边同时求导，得，令，，正确． 故选：ABD 10．ABD A.利用的展开式直接可得； B. 设，通过当时, 当时的式子求出奇数次的系数和以及偶数次的系数和，进而可得结果； C.利用，以及对两边求导进行证明； D. 令，比较等式两边的系数可得 ... ...