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课件网) 4.5 课时2 垂线段 与点到直线的距离 1. 通过用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线，掌握垂线的基本事实； 2. 理解垂线段的概念； 3. 知道点到直线的距离与垂线段的关系，能度量点到直线的距离. 要在河岸 l 上建一个水泵房引水到 C 处，建在哪个位置才最节省水管？ 任意画一条直线 l ，用三角板或量角器过任意一点 P 画直线 l 的垂线. (1) 若直线 l 经过点 P . 一“靠” 二“过” 三“画” P a 用三角板画： 垂线的基本事实 任意画一条直线 l ，用三角板或量角器过任意一点 P 画直线 l 的垂线. (1) 若直线 l 经过点 P . P a 一“靠” 二“过” 三“点” 四“画” 用量角器画： (2) 若直线 l 不经过点 P . P b 任意画一条直线 l ，用三角板或量角器过任意一点 P 画直线 l 的垂线. 问题：无论点 P 在直线 l 上还是直线 l 外，过点 P 还能画出其他符合条件的垂线吗？ 不能 思考：由此你能提出什么猜想？ 猜想：无论点 P 在直线 l 上还是直线 l 外，过点 P 都只能画出直线 l 的一条垂线. P b P a 假如过点 P 还有一直线 c 能使 c⊥l， c c 则根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行可知，c∥a(或c∥b). 又直线c与直线a (直线b)有公共点P， 因此这是不可能的. 推理验证： A B E D C F G 注意: 1. 前提是在同一平面内. 垂线的基本事实： 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 知识要点 2.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外. 如图，设 PO 垂直于直线 l，O 为垂足，线段 PO 叫作点 P 到直线 l 的垂线段． 经过点 P 的其他直线分别交直线 l 于点 A，B，C，D， ···，线段 PA，PB，PC，PD，··· 都不是垂线段，称为斜线段． 注意：垂线段是垂线上的一部分，它是线段，一端是已知点，另一端是垂足. A B C D P O l 垂线段 ① 用刻度尺量，发现垂线段 PO 最短. 用刻度尺或者圆规比较图中PA，PB，PO，PC，PD 五条线段的长度，哪条线段最短？ ② 用圆规比较垂线段 PO 和斜线段 PA，PB，PC，PD 的长度可知，垂线段 PO 最短. 做一做 A B C D P O l 简单说成：垂线段最短． 垂线段的性质： 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 知识要点 点到直线的距离 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 如图，垂线段 PO 的长度叫作点 P 到直线 l 的距离. P l O (教材117页) (1) 量出点 P 到直线 AB 的距离. (2) 要在河岸 l 上建一个水泵房引水到 C 处,建在哪个位置才最节省水管？为什么？ (3) 由(1)(2)你会发现可以怎样求点到直线的距离？ 求点到直线的距离可以转化为求点到点的距离. P A B 垂线段最短 做一做 例1 如图，在△ABC 中，∠ABC = 90°，BD⊥AC， 垂足为点 D，AB = 5，BC = 12，AC = 13. (1) 求点 A 到直线 BC 的距离； 解：因为∠ABC = 90°， 所以 AB⊥BC， 点 B为垂足， 所以线段 AB 即为点 A 到直线 BC 的垂线段. 因为AB = 5， 所以点 A 到直线 BC 的距离为 5. 解：因为 BD⊥AC， 垂足为点 D， 所以线段 BD 的长度即为点 B 到直线 AC 的距离. 等面积法 例1 如图，在△ABC 中，∠ABC = 90°，BD⊥AC， 垂足为点 D，AB = 5，BC = 12，AC = 13. (2) 求点 B 到直线 AC 的距离. 因为S△ABC = ·BC·AB= ·AC·BD , 所以 BD = ， 所以点B到直线AC的距离为 . 如图，在△ABC 中，∠A = 90 °，AB = 3 ，AC = 4 ，BC = 5 ，求点 A 到 BC 的距离. 解: 过点 A作 AD ⊥ BC，垂足为点 D, D 所以线段 AD 的长度即为点 A 到 BC 的距离. 练一练 因为S△ABC = ·AC·AB = ·BC·AD , 所以 AD = ，即点 A 到 BC 的距离为 . A B C 1. 如图，AC⊥BC，∠CDB = 90°，线段 AC，BC，CD 中最短的 ... ...
