人教A版高中数学必修第二册第8章专项提升与球有关的“切”“接”问题课件+练习含答案（教师用）

第八章　专项提升　与球有关的“切”“接”问题 课时跟踪检测 1．一个正方体的顶点都在球面上，若球的表面积为4π，则正方体的棱长为(　　) A． B． C． D． 【答案】　B 【解析】　设正方体的棱长为a，则其体对角线长为a，设球的半径为r，则4πr2＝4π，r＝1，所以a＝2r＝2，a＝＝.故选B. 2．底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为(　　) A．6π B．12π C．8π D．16π 【答案】　D 【解析】　由圆锥的底面半径为，母线长为2，可求得其轴截面的顶角为.设该圆锥的底面圆心为O1，其半径为r，球O的半径为R，则O1O＝|R－1|，R2＝O1O2＋r2＝(R－1)2＋()2，解得R＝2，所以球O的表面积为4πR2＝16π. 3．直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为3的正三角形，且侧棱长为2，则这个三棱柱的外接球的体积为(　　) A． B．4π C． D．16π 【答案】　C 【解析】　设三棱柱外接球的球心为O，半径为r，三棱柱的底面△ABC的中心为D，如图，则OA＝r，∵三棱柱的高为2，∴OD＝1，又在正△ABC中，AB＝3，可得AD＝，∴在Rt△ADO中，OA2＝OD2＋AD2，有r2＝12＋()2，∴r＝2，则这个三棱柱的外接球的体积为V＝×r3＝. 4．已知圆柱的侧面积为2π，其外接球的表面积为S，则S的最小值为(　　) A．3π B．4π C．6π D．9π 【答案】　B 【解析】　设圆柱的底面半径为r，高为h，可得圆柱的侧面积为2π＝2πrh，所以rh＝1，圆柱的外接球的半径为，外接球的表面积为4π2＝(4r2＋h2)π≥2π＝4π，当且仅当r＝，h＝时，外接球的表面积取得最小值4π.故选B. 5．在正三棱锥P－ABC中，AB＝2，正三棱锥P－ABC的体积是4，则正三棱锥P－ABC外接球的表面积是(　　) A．5π B．15π C．25π D．35π 【答案】　C 【解析】　因为正三棱锥P－ABC中，AB＝2，所以S△ABC＝×2×2×sin 60°＝3，设PN为正三棱锥的高，则N为△ABC的中心，连接AN并延长交BC于M，则M为BC的中点，可求得AN＝2，易知正三棱锥P－ABC外接球的球心O在PN上，因为正三棱锥P－ABC的体积是4，所以×S△ABC×PN＝4，所以PN＝4，设外接球的半径为r，由题意得r2＝(4－r)2＋22，解得r＝，所以外接球的表面积S＝4πr2＝4π×2＝25π，故选C. 6．在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(　　) A．4π B． C．6π D． 【答案】　B 【解析】　设球的半径为R，∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10.当球与直三棱柱的三个侧面相切时，有(6＋8＋10)×R＝×6×8，此时R＝2；当球与直三棱柱两底面相切时，有2R＝3，此时R＝.∴在封闭的直三棱柱中，球的最大半径只能为，故最大体积V＝π3＝. 7．在四面体ABCD中，若AB＝CD＝，AC＝BD＝2，AD＝BC＝，则四面体ABCD的外接球的表面积为(　　) A．2π B．4π C．6π D．8π 【答案】　C 【解析】　如图所示，该四面体的顶点为长方体的四个顶点，设长、宽、高分别为a，b，c，则三式相加得a2＋b2＋c2＝6，所以该四面体的外接球的直径为长方体的体对角线长，故外接球的表面积为4πR2＝6π. 8．若圆锥的高等于其内切球半径长的3倍，则圆锥侧面积与球的表面积的比值为(　　) A． B． C． D． 【答案】　B 【解析】　设球的半径为r，则圆锥的高为3r，设圆锥的底面圆的半径为R，作圆锥的轴截面如图所示，设球心为点O，在Rt△AOM中，∠AMO＝90°，OM＝r，AO＝AH－OH＝2r，sin∠OAM＝＝，∴∠OAM＝30°，∴R＝AHtan∠OAM＝r，则AB＝2R＝2r，则圆锥的侧面积为S1＝πR·2R＝π×r×2r＝6πr2，球O的表面积为S2＝4πr2，因此，圆锥的侧面积与球的表面积的比值为＝＝. 9．(多选)正四棱锥P－ABCD的底面积为3，外接球的表面积为8π，则正四棱锥P－ABCD的体积为(　　) A． B． C．2 D． 【答案】　AB 【解析】　因为正四棱锥P ... ...