第八章 微专题 探究空间几何体上两点间路径最短问题 课时跟踪检测 A组·基础巩固 1．(2024·黑龙江佳木斯高一期中)正三棱柱所有棱长都为1，则其表面积为( ) A．3＋ B．3＋＋ C．3 D．3－ 【答案】 A 【解析】 由题可知，正三棱柱的上底面积为×12＝，其中一个侧面积为1，所以其表面积为×2＋1×3＝＋3. 2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( ) A．7 B．6 C．5 D．3 【答案】 A 【解析】 设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由侧面积S＝π(r＋3r)×3＝84π，解得r＝7. 3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于( ) A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 由题意得2r＝h,2πr·h＝S，则体积为πr2·h＝2πr3＝＝. 4．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为( ) A.πR3 B．πR3 C.πR3 D．πR3 【答案】 A 【解析】 设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则有2πr＝πR，∴r＝R.又圆锥母线长为R，∴圆锥的高h＝＝R，故体积V＝πr2h＝πR3. 5．(多选)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是( ) A．圆柱的侧面积为2πR2 B．圆锥的侧面积为2πR2 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆锥的表面积最小 【答案】 CD 【解析】 ∵圆柱的底面直径和高都与一个球的直径2R相等，∴圆柱的侧面积S＝2πR×2R＝4πR2，故A错误；圆锥的侧面积S＝πR·＝πR2，故B错误；圆柱的侧面积S＝2πR×2R＝4πR2，球的表面积S球＝4πR2，∴圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确；圆柱的表面积S圆柱＝2πR×2R＋2πR2＝6πR2，圆锥的表面积S圆锥＝πR·＋πR2＝(＋1)πR2，球的表面积为S球＝4πR2，∴圆锥的表面积最小，故D正确．故选CD. 6．(多选)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则下列说法正确的是( ) A．以BC所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15π B．以AB所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为 C．以AC所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25π D．以AC所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π 【答案】 ABD 【解析】 以BC所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，其侧面积为π×3×5＝15π，故A正确；以AB所在直线为旋转轴旋转时，所得旋转体是具有同底的两个圆锥体的组合体，其底面半径为，故所得旋转体的体积V＝π×2×5＝，故B正确；以AC所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥，侧面积为π×4×5＝20π，体积为×π×42×3＝16π，故C错误，D正确．故选ABD. 7．设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2.若＝，则＝_____. 【答案】 【解析】 ∵棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，∴V1＝a3，S1＝6a2.∵底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，∴V2＝r·πr2＝，S2＝πrl＝πr2.∵＝，∴＝，解得a＝r，∴＝＝. 8．已知一圆台上底面的半径为2，下底面的半径为3，截得此圆台的圆锥的高为6，则此圆台的体积为_____. 【答案】 π 【解析】 圆台的轴截面如图，设圆台的高为h，则＝，解得h＝2，所以圆台的体积V＝π(22＋2×3＋32)×2＝π. 9．祖暅，祖冲之之子，南北朝时期伟大的科学家，于5世纪末提出下面的体积计算原理，即祖暅原理：幂势既同，则积不容异．意思是如果两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积相等，那么这两个几何体的体积相等，现有如图的半椭球体与被挖去圆锥的圆柱等高，且平行于底面的平面在任意高度截 ... ...
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