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课件网) 第八章 立体几何初步 8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.1 直线与直线垂直 新课程标准解读 学科核心素养 理解异面直线所成角的概念，会求两异面直线所成的角. 数学抽象、数学运算 了解空间中直线与直线垂直的关系，会证明空间中两直线的垂直. 直观想象、逻辑推理 教材梳理 明要点 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB与B1C1异面，AB与B1D1也异面． 问题 直观上，你认为这两种异面有什么区别？ ?情境导入 [提示] [提示] AB与B1C1两条异面直线所成的角是直角，AB与B1D1所成的角不是直角． 知识点一 异面直线所成的角 1．已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线_____所成的角α叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 2．空间两条直线所成角α的取值范围是_____. ?新知初探 [提醒1] a′与b′ 0°≤α≤90° [提醒1] (1)两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关； (2)找出两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角． 知识点二 直线与直线垂直 如果两条异面直线所成的角是_____，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a_____b. [提醒2] 直角 ⊥ [提醒2] 两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和异面垂直两种情形． 1．设a，b，c是三条直线，且c⊥a，c⊥b，则a和b( ) A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能 【答案】 D ?预习自测 【解析】 如图，若DD1＝c，D1C1＝a，A1D1＝b，则a和b相交；若DD1＝c，D1C1＝a，AD＝b，则a和b异面；若DD1＝c，D1C1＝a，DC＝b，则a和b平行，所以空间中垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面．故选D. 2．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线( ) A．有无数条 B．有两条 C．至多有两条 D．有一条 【答案】 A 【解析】 过点P且与l成30°角的异面直线有无数条，并且异面直线在以P为顶点的圆锥的侧面上．故选A． 3．若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为_____. 【答案】 60° 【解析】 因为a∥OA，根据等角定理，又因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以a与OB所成的角为60°. 题型探究 提技能 1.在三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且AB与CD所成角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小． 【解析】 如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG， 题型一 求异面直线所成的角 由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角． ∵AB与CD所成角为30°， ∴∠EGF＝30°或150°， 由EG＝FG知△EFG为等腰三角形， 当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°， 当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°， 故EF与AB所成角的大小为15°或75°. [方法总结1][提醒] [方法总结1] 求两异面直线所成角的一般步骤 (1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角； (2)计算角：求角度，常利用三角形； (3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角． [提醒] 找异面直线所成的角，可以从如下“口诀”入手： 中点、端点定顶点，平移常用中位线； 平行四边形中见，指出成角很关键； 求角构造三角形，锐角、钝角要明辨； 平行直线若在外，补上原体在外边． １ (1)如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝CA＝CB＝5，AB＝PC＝2，点D，E分别为AB，PC的中点，则异面直线PD，BE所成角的余弦值为( ) (2)如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADH ... ...
