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课件网) 第六章 平面向量及其应用 6.2 平面向量的运算 6.2.3 向量的数乘运算 新课程标准解读 学科核心素养 了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义. 数学抽象 理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算. 逻辑推理 理解并掌握两向量共线的性质和判断方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题. 逻辑推理 教材梳理 明要点 一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？蚂蚁向西运动3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是－3a吗？ ?情境导入 [提示] [提示] 1．类比实数的运算，可以，即a＋a＋a＝3a. 2．3a与a的方向相同，－3a与a的方向相反． 知识点一 向量的数乘运算及运算律 1．向量的数乘 (1)定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个_____，这种运算叫做向量的数乘，记作____. (2)规定：①|λa|＝_____； ②当λ＞0时，λa的方向与a的方向_____；当λ＜0时，λa的方向与a的方向_____；当λ＝0时，λa＝_____；(－1)a＝_____. ?新知初探 向量 λa |λ||a| 相同 相反 0 －a 2.向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝_____； (2)(λ＋μ)a＝_____； (3)λ(a＋b)＝_____. 特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. [提醒] (λμ)a λa＋μa λa＋λb [提醒] 1．向量的数乘仍是向量； 2．实数λ与向量不能相加； 3．若λa＝0，则λ＝0或a＝0； 知识点二 共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在_____实数λ，使_____. 唯一一个 b＝λa 想一想 共线向量定理中为什么规定a≠0 提示：(1)若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线； (2)当a＝0时，若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa，但此时向量a与b共线； (3)当a＝0时，若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa，与存在唯一一个实数λ矛盾. (2)若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b＝λa.( ) (3)若b＝λa，则a与b共线(其中λ为实数)．( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ 【解析】 (1)由向量数乘的定义可知正确． (2)当a＝0时，λ不一定存在． (3)由共线向量定理可知正确． ?预习自测 2．已知非零向量a，b满足a＝4b，则( ) A．|a|＝|b| B．4|a|＝|b| C．a与b的方向相同 D．a与b的方向相反 【答案】 C 【解析】 ∵a＝4b,4＞0，∴|a|＝4|b|且a与b方向相同． 【答案】 C 题型探究 提技能 题型一 向量的线性运算 [方法总结1] [方法总结1] 向量线性运算的方法 (1)向量的线性运算是向量的加、减、数乘三种运算的通称，类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数是向量的系数； (2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用移项，合并同类项，系数化为1等步骤求解． １ (1)已知e1，e2是两个不共线的向量，向量a＝e1＋2e2，b＝3e1－5e2，则4a－3b＝_____(用e1，e2表示)． (2)已知向量a，b，未知向量x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，则向量x＝_____，y＝_____. 【答案】 (1)－5e1＋23e2 (2)3a＋2b 4a＋3b 【解析】 (1)∵a＝e1＋2e2，b＝3e1－5e2，∴4a－3b＝4(e1＋2e2)－3(3e1－5e2)＝－5e1＋23e2. (2)由3x－2y＝a①，－4x＋3y＝b②，①×3＋②×2，得x＝3a＋2b，代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a，即y＝4a＋3b.∴x＝3a＋2b，y＝4a＋3b. 题型二 向量共线的判定及应用 (2)∵8a＋kb与ka＋2b共线， ∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)， 即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0. [方法总结2] [方法总结2] 1．证明或判断三 ... ...
