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课件网) 第七章 复数 7.2 复数的四则运算 7.2.2 复数的乘、除运算 新课程标准解读 学科核心素养 掌握复数代数形式的乘法和除法运算. 数学抽象 理解复数乘法的运算律. 数学运算 教材梳理 明要点 我们知道，两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即a，b，c∈R时，有(a＋b)c＝ac＋bc，而且，实数的正整数次幂满足aman＝am＋n，(am)n＝amn，(ab)n＝anbn，其中m，n均为正整数． 问题 复数的运算满足上述的运算律吗？ ?情境导入 [提示] [提示] 复数的乘法法则如下：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)·(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 知识点一 复数的乘法 1．复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝_____. ?新知初探 (ac－bd)＋(ad＋bc)i 2．复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝_____ 结合律 (z1z2)z3＝_____ 分配律 z1(z2＋z3)＝_____ z2z1 z1(z2z3) z1z2＋z1z3 想一想 1．复数的乘法与多项式乘法有何不同？ 提示：复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并． 2．多项式乘法的运算律在复数乘法中能否成立？ 提示：仍然成立，乘法公式也适用． 知识点二 复数的除法 复数代数形式的除法法则 (a＋bi)÷(c＋di)＝＝_____(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)． [提醒] [提醒] 对复数除法的两点说明： (1)实数化，分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”类似； (2)代数式，注意最后结果要将实部、虚部分开． 1．已知i为虚数单位，复数z＝(3－i)(2＋i)，则z的虚部为( ) A．i B．1 C．7i D．7 【答案】 B 【解析】 ∵z＝(3－i)(2＋i)＝7＋i，∴z的虚部为1.故选B. ?预习自测 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 C 3．设复数z满足(1＋i)z＝2－2i(i为虚数单位)，则|z|＝_____. 【答案】 2 题型探究 提技能 1.计算下列各题： (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)． 【解析】 (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i) ＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i) ＝(3＋11i)(3－4i) ＝(9－12i＋33i－44i2) ＝53＋21i. 题型一 复数代数形式的乘法运算 [方法总结1] [方法总结1] 复数的乘法运算法则的应用 (1)复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简； (2)对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便．例如平方差公式、完全平方公式等． １ A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i (2)若复数z1，z2满足z1＝1－2i，z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z1·z2的虚部为_____. 【答案】 (1)C (2)－2 【答案】 (1)C (2)D 题型二 复数代数形式的除法运算 [方法总结2] [方法总结2] 1．两个复数代数形式的除法运算的步骤 (1)首先将除式写为分式； (2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； (3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 2．常用公式 (1)1/i＝－i；(2)(1＋i)/(1－i)＝i；(3)(1－i)/(1＋i)＝－i. 2 【答案】 (1)A (2)－3 【答案】 (1)D (2)1 【解析】 (1)因为i2＝－1，i4＝1，所以z＝i2 023＝i4×505＋3＝i3＝－i，所以复数z的模是1.故选D. (2)由复数的运算法则可知：1＋i＋i2＋i3＋…＋i100＝1＋(i＋i2＋i3＋i4)＋…＋(i97＋i98＋i99＋i100)＝1＋0＋…＋0＝1. 题型三 i幂值的周期性及应用 [方法总结3] [方法总结3] 利用i幂值的周期性解 ... ...
