第六章 6.4 6.4.1 课时跟踪检测 A组·基础巩固 1．如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，则( ) A．s＞|a| B．s＜|a| C．s＝|a| D．s与|a|不能比大小 【答案】 A 【解析】 s＝200＋300＝500(km)，|a|＝＝100(km)，∴s＞|a|.故选A． 2．(2023·高一下浙江温州阶段练习)在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若3＋＝3＋，则四边形ABCD一定是( ) A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形 【答案】 B 【解析】 由3＋＝3＋，得3(－)＝－，所以3＝，可得AD∥BC且AD≠BC．所以四边形ABCD一定是梯形．故选B. 3．在平面四边形ABCD中，＝(－2,3)，＝(6,4)，则该四边形的面积为( ) A．2 B．4 C．13 D．26 【答案】 C 【解析】 ∵·＝－12＋12＝0，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积为||·||＝××＝13.故选C． 4．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且⊥，则||＝( ) A． B．2 C．3 D．2 【答案】 B 【解析】 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系．设||＝a(a＞0)，则A(0,0)，C(4，a)，D(0，a)，E(2,0)，所以＝(2，－a)，＝(4，a)．因为⊥，所以·＝0，所以2×4＋(－a)·a＝0，即a2＝8.所以a＝2，所以＝(2，－2)，所以||＝＝2. 5．(多选)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的三个任意的非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于( ) A．以a，b为邻边的平行四边形的面积 B．以b，c为邻边的平行四边形的面积 C．以a，b为两边的三角形面积的2倍 D．以b，c为两边的三角形面积 【答案】 AC 【解析】 设b与c的夹角为α，a与b的夹角为θ，则|b·c|＝|b|·|c|·|cos α|＝|b|·|a|·|cos(90°±θ)|＝|b|·|a|·sin θ.故选AC． 6．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且＝，则( ) A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的反向延长线上 C．点P在线段AB的延长线上 D．点P不在直线AB上 【答案】 B 【解析】 ∵＝＝－，∴－＝(－)，∴＝，故选B. 7．已知G为△ABC的重心，且＝λ(＋)，则λ＝_____. 【答案】 【解析】 如图所示，取BC中点M，连接AM，则三角形中由向量公式得＋＝2，又因为G为△ABC的重心，故＝，因此＝(＋)，故λ＝. 8．有一东西方向的河流(假设河流宽度一样)，一艘快艇从河南岸出发渡河，快艇航行速度的大小为2 m/s，方向为北偏西30°，河水的速度为向东1 m/s，经过20 s到达北岸，现快艇从北岸返回，速度大小不变，方向为正南，从北岸出发返回南岸的时间是_____. 【答案】 10 s 【解析】 如图所示，由题意知，||＝2 m/s，||＝1 m/s，所以||＝＝(m/s)，所以南北两岸的距离为×20＝20(m)；现快艇从北岸返回，速度大小不变，方向为正南，所以时间为20÷2＝10(s)，即从北岸出发返回南岸的时间是10 s. 9.如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC． 【证明】 设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d， 则a＝e＋c，b＝e＋d， 所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2， 由条件知，a2－b2＝c2－d2， 所以e·c＝e·d，即e·(c－d)＝0，即·＝0， 所以AD⊥BC． B组·综合运用 10．(多选)在△ABC中，D为BC边上的中点，P0是边AB上的一个定点，P0B＝AB，且对于AB上任一点P，恒有·≥·，则下列结论中正确的是( ) A．·＝2－2 B．存在点P，使||＜|| C．·＝0 D．AC＝BC 【答案】 AD 【解析】 ∵·＝(＋)·(＋)＝2－2，故A正确；由A知，·＝2－2，又∵·≥·恒成立，∴2≥2，即||≥||恒成立，故B错误；由||≥||恒成立，∴||是点D与直线AB上各点距离的最小值，∴⊥，∴·＝0，故C错误；取AB的中点为O，∵P0B＝AB，∴P0为OB中点，∴CO∥P0D，∴CO⊥ ... ...
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