10.1.1　两角和与差的余弦 同步学案（含答案）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

10.1.1　两角和与差的余弦 1. 经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体会向量和三角函数间的关系． 2. 能用两角差的余弦公式推出两角和的余弦公式，理解化归思想在三角变换中的作用． 3. 能用两角和与差的余弦公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明． 活动一 掌握两角和与差的余弦公式的推导 探究1：(1) 设向量a＝(cos 75°，sin 75°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，则向量a与向量b的夹角θ是多少？ (2) 分别用公式a·b＝|a|·|b|cos θ及 a·b＝x1x2＋y1y2计算a·b的值，比较两次计算的结果，你能发现什么？ (3) 上述结论能否进行推广？即已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，你能得到什么结论？ 探究2：如何根据两角差的余弦公式推导两角和的余弦公式？ 思考 两角差与两角和的余弦公式的结构特征． 活动二　掌握两角和与差的余弦公式的简单应用　 例1　利用两角和(差)的余弦公式证明以下诱导公式： (1) cos ＝sin α； (2) cos ＝sin α. 例2　求cos 105°的值． 使用两角和与差的余弦公式时，一定要注意公式中前后的运算符号． 求cos 15°，cos 75°的值． 活动三　掌握两角和与差的余弦公式的综合应用　 例3　已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β是第三象限角，求cos (α－β)的值． 在使用公式时，涉及两个角的正余弦值时，一定要注意两个角所在的象限，从而在使用同角的平方关系时，确定开方后的符号． 已知sin α＝，且α是第二象限角，则cos (－α)＝_____． 例4　(2023淮安期末)已知sin α＝，sin (α＋β)＝，0<β<<α<π.求： (1) cos 的值； (2) cos 的值． 了解简单的配角关系，如α＝－，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，在解决问题时，看清条件中的角和所求角之间的关系，有时要将α＋看成整体，而不是看成两角的和． 已知α∈，且cos ＝，求cos α的值． 1. (教材改编)cos 121°cos 61°＋sin 121°sin 61°的值为(　　) A. 1 B. － C. D. 2. (2024湖南月考)2cos 80°－cos 20°等于(　　) A. sin 20° B. sin 20° C. －sin 20° D. －sin 20° 3. (多选)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于点A，B，若点A，B的坐标分别为和，则下列结论中正确的是(　　) A. cos α＝ B. cos β＝ C. cos (α＋β)＝0 D. cos (α－β)＝0 4. (教材改编)若cos (α＋β)＝，cos (α－β)＝，则tan αtan β＝_____． 5. (2024中山月考)已知sin α＝－，α∈. (1) 求cos 的值； (2) 若sin (α＋β)＝－，β∈，求角β的值． 10．1.1　两角和与差的余弦 【活动方案】 探究1：(1) 60° (2) a·b＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°， |a|＝1，|b|＝1， 则a·b＝1×1×cos 60°＝cos 60°＝cos (75°－15°)， 所以cos (75°－15°)＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°. (3) cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 探究2：cos (α＋β)＝cos [α－(－β)] ＝cos αcos (－β)＋sin αsin (－β) ＝cos αcos β－sin αsin β. 思考：同名三角函数相乘，符号相反． 例1　(1) cos ＝cos cos α＋sin sin α＝sin α. (2) cos ＝cos cos α－sin sin α＝sin α. 例2　cos 105°＝cos (60°＋45°)＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45°＝×－×＝. 跟踪训练　cos 15°＝cos (45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝. cos 75°＝cos (45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝. 例3　因为α∈，β是第三象限角， 所以cos α＝－＝－， sin β＝－＝－， 所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－. 跟踪训练　　因为sin α＝，且α是第二象限角，所以cos α＝－，所以cos ... ...