10.1.4　两角和与差的三角函数习题课 同步学案（含答案） 2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

10．1.4　两角和与差的三角函数习题课 1. 能用正弦、余弦、正切的和(差)角公式进行三角函数式的求值，化简及恒等式的证明． 2. 体会化归思想的作用． 活动一 化简求值 例1　化简求值： (1) cos 705°＝_____； (2) sin (－1 560°)cos (－930°)－cos (－1 380°)·sin 1 410°＝_____； (3) ＝_____． 在三角表达式中，化简与求值，就是利用三角公式，把题中的三角式化到最简式或化为特殊角的三角函数值． (1) 计算：＝_____； (2) tan 22°＋tan 23°＋tan 22°tan 23°＝_____． 活动二　给值求值　 例2　(1) 若α∈，tan ＝，则sin α＝_____； (2) 已知tan α＋tan β＝－6，tan (α＋β)＝－1，则的值为_____． 对于给值求值问题，从角和函数名称两方面出发，让条件与结论取得联系． 已知sin ＝，cos ＝－，且α－为第二象限角，－β为第三象限角，求tan 的值． 活动三 给值求角 例3　(1) 已知α，β为三角形的两个内角，cos α＝，sin (α＋β)＝，则β＝_____； (2) 已知α与β均为锐角，且(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β＝_____． 给值求角时，先看角的范围，再求出这个角的恰当的三角函数值，从而问题得以解决． 已知在△ABC中，tan A＝，tan B＝，则 C＝_____． 活动四 公式在三角形中的应用　　 例4　在△ABC中，已知sin B cos A＝3sin A cos B，且cos C＝，求角A的大小． 从给出的条件和所求的式子的特征(角和函数名称)入手，选择适合的公式去解决问题． 已知在锐角三角形ABC中，sin (A＋B)＝，sin (A－B)＝.求证：tan A＝2tan B. 1. (2024新高考Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)等于(　　) A. －3m B. － C. D. 3m 2. (2023朝阳一中期中)已知函数f(x)＝sin x－cos x的定义域为[a，b]，值域为[－1，2]，则b－a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 3. (多选)下列化简结果中，正确的是(　　) A. cos 22°sin 52°－sin 22°cos 52°＝－ B. ＝ C. sin －cos ＝－ D. sin 105°＝ 4. (教材改编)若角α，β满足α－β＝，且cos 2β－cos 2α＝，则sin (α＋β)＝_____． 5. 在△ABC中，三个内角分别为A，B，C，已知sin ＝2cos A. (1) 求角A的大小； (2) 若B∈，且cos (A－B)＝，求sin B的值． 10．1.4　两角和与差的三角函数习题课 【活动方案】 例1　(1) 　cos 705°＝cos (－15°)＝cos 15°＝cos (45°－30°)＝×＋×＝. (2) 1　原式＝sin (－120°)cos 150°－cos 60°sin (－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝sin 90°＝1. (3) 　原式＝＝＝. 跟踪训练　(1) 　　原式＝＝ ＝2cos ＝. (2) 1　原式＝tan (22°＋23°)(1－tan 22°·tan 23°)＋tan 22°tan 23°＝1.　 例2　(1) 　tan α＝tan ＝＝－.因为α∈，所以sin α＝.　 (2) 　由tan (α＋β)＝＝－1，代入tan α＋tan β＝－6，解得tan αtan β＝－5，所以＝＝＝＝. 跟踪训练　由题意，得cos ＝－，sin (－β)＝－， 所以tan ＝－，tan ＝， 所以tan ＝tan ＝＝－. 例3　(1) 　在三角形中，因为cos α＝，所以sin α＝.因为sin (α＋β)＝，所以cos (α＋β)＝±，所以sin β＝或sin β＝－(舍去).又<，所以β<α，所以β＝. (2) 　因为(tan α－1)(tan β－1)＝2，所以tan αtan β－(tan α＋tan β)＝1，即 tan αtan β－1＝tan α＋tan β，所以tan (α＋β)＝＝－1.又α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝. 跟踪训练　　由题意，得tan C＝tan [π－(A＋B)]＝－tan (A＋B)＝－＝－＝－1，因为C为△ABC的内角，所以C＝. 例4　由题意，得sin (A＋B)＝4sin A cos B， sin (B－A)＝2sin A cos B. 由cos C＝，得sin C＝， 所以sin (A＋B)＝， 所以sin A cos B＝， 所以sin (B－A)＝＝cos C， 所 ... ...