10.3 几个三角恒等式 同步学案（含答案） 2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

10．3　几个三角恒等式 1. 通过积化和差公式与和差化积公式的推导，经历数学探索和发现的过程，激发数学发现的欲望和信心． 2. 提高三角恒等变换的能力． 活动一 积化和差与和差化积公式 思考1 你有哪些方法计算sin cos 的值？ 思考2 你能将sin αcos β用α＋β和α－β的三角函数值表示吗？ 思考3 cosαsinβ呢？cos αcos β呢？sin αsin β呢？ 思考4 分别用和替换α和β，得到什么公式？ 例1　求下列各式的值： (1) sin 37.5°cos 7.5°； (2) sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°. 利用积化和差公式，将代数式中的角化为特殊角，从而求出它的值． sin220°＋cos280°＋sin20°cos 80°＝_____． 例2　已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求sin (α＋β)的值． 根据题干中的特征，利用和差化积公式，先求出tan 的值，再求出α＋β的三角函数值． 已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，求tan (α＋β)的值． 活动二　万能公式　 思考5 你能用tan 表示sin θ，cos θ，tan θ吗？ 例3　已知cos θ＝－，并且180°＜θ＜270°，求tan 的值． 　　 已知倍角的三角函数值，求单角的三角函数值，应该想到倍角公式(万能公式也是倍角公式)，通过解方程解决，也可以用tan ＝＝＝＝去解决． 已知α∈，tan α＝2，则sin2(－α)－2cos2α＋1＝_____． 活动三　半角公式　 思考6 复习回顾二倍角的余弦公式，你能将的三角函数用α的三角函数来表示吗？ 例4　已知sin(α＋β)＝－，cos β＝，<α<π，0<β<，求sin ，cos 和tan 的值． 利用条件先求出cos α的值，再利用二倍角公式的变形公式sin2＝，cos2＝去解决．总之，要灵活使用公式． 已知α，β∈，且α<β，若sin α＝，cos (α－β)＝，求： (1) cos β的值； (2) tan 的值． 1. (2023新高考Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin 的值为(　　) A. B. C. D. 2. (教材改编)已知sin x cos y＋cos x sin y＝，cos 2x－cos 2y＝，则sin (x－y)的值为(　　) A. B. C. － D. － 3. (多选)(教材改编)下列各式中，一定正确的是(　　) A. sin 3α－sin 5α＝2sin 4αcos α B. tan ＝ C. cos 2αcos 4α＝(cos 6α＋cos 2α) D. tan 4α＝ 4．已知sin －cos ＝－，450°<α<540°，则tan ＝_____． 5. 已知cos (α＋β)cos β＋sin (α＋β)sin β＝，α∈，求sin 2α和cos 的值． 10．3　几个三角恒等式 【活动方案】 思考1：方法一： sin cos ＝sin cos ＝×××＝. 方法二： sin cos ＝sin cos ＝sin2＝＝. 方法三： sin cos ＝sin cos ＝cos2＝＝. 思考2：sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)]. 思考3：cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)]， cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]， sin αsin β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)]. 思考4：和差化积公式 sin α＋sin β＝2sin cos ， sin α－sin β＝2cos sin ， cos α＋cos β＝2cos cos ， cos α－cos β＝－2sin sin . 例1　(1) 原式＝sin ·cos ＝(sin 45°＋sin 30°)＝. (2) 原式＝[sin 90°＋sin (－50°)]－[cos 60°－cos (－40°)]＝－sin 50°－＋cos 40°＝. 跟踪训练　　原式＝＋＋(sin 100°－sin 60°)＝1＋(cos 160°－cos 40°)＋(sin 100°－sin 60°)＝1＋×(－2)×sin 100°·sin 60°＋sin 100°－＝1－sin 100°＋sin 100°－＝. 例2　因为cos α－cos β＝， 所以－2sin sin ＝. 因为sin α－sin β＝－， 所以2cos sin ＝－. 因为sin ≠0， 所以tan ＝， 所以sin (α＋β)＝2sin cos ＝＝. 跟踪训练　由sinα＋sin β＝， cos α＋cos β＝， 得2sin cos ＝， 2cos cos ＝. 因为cos ≠0，所以两式相除得tan ＝3， 所以tan (α＋β)＝tan ＝＝－. 思考5：sinθ＝，cos ... ...