11.2.1　正弦定理 同步学案（含答案）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

11.2.1　正弦定理 1. 借助平面向量的数量积运算，推导出正弦定理，并能用正弦定理解决一些简单的三角形中边与角的计算问题． 2. 体会“由特殊到一般”的数学思想方法． 活动一　了解正弦定理的探求过程　 思考1 在上节中，我们通过等式＝＋两边同时“平方”，推出了余弦定理．还有其他途径将向量等式＝＋数量化吗？ 结论：正弦定理： 思考2 你能用其他方法推导出正弦定理吗？ 思考3 在正弦定理中，＝＝，这个比值与△ABC外接圆的直径之间存在怎样的关系？ 正弦定理指出了三角形中三条边与对应角的正弦值之间的关系，描述了三角形中边与角的一种数量关系． 活动二　掌握正弦定理的简单应用　 例1　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝16，A＝45°，a＝16，求角B，C的大小及边c的长度． (1) 在例1的条件下，将“a＝16”改为“a＝16”，结论如何？ (2) 在例1的条件下，将“a＝16”改为“a＝8”结论又如何？ 有三种情况，两解，一解，无解．要考虑大角对大边，大边对大角，及正弦定理有a>b sin A>sin B，由此确定解的情况． 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，b sin 2A＝a sin B. (1) 求角A的大小； (2) 若sin B＝，求c的值． 活动三　掌握正弦定理在实际问题中的应用　 例2　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A＝75°，C＝60°，A，C之间的距离b为100m，求A，B之间的距离c. 如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长． 思考4 下列哪些条件可以直接使用正弦定理来解三角形？ (2) (3) 　(4) 思考5 哪些类型的解三角形问题可以直接用正弦定理解决呢？ 1. (教材改编)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a sin B＝2，b＝3，则sin A 等于(　　) A. B. C. D. 2. (2024定西开学考试)如图，△ABC内接于圆O，若AB＝，AC＝3，BC＝7，则⊙O的半径是(　　) A. B. C. D. 3. (多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝，A＝45°，B＝75°，则下列结论中正确的是(　　) A. a＝ B. b＝ C. C＝60° D. b＝ 4. (2024哈尔滨期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b cos A＋b sin A＝a＋c，则角B＝_____． 5. (教材改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝，b＝，B＝45°，求角A，C的大小及c的值． 11．2.1　正弦定理(1) 【活动方案】 思考1：在△ABC中，不妨设C为最大角，过点A作AD⊥BC于点D，与的夹角为α. 因为＝＋， 所以·＝(＋)·＝·＋·＝0， 即0＝||||·cos (90°＋B)＋||||·cos α. 当C为锐角或直角时，α＝90°－C； 当C为钝角时，α＝C－90°， 则－c sin B＋b sin C＝0， 即＝， 同理可得＝， 所以＝＝. 结论：＝＝ 思考2：在Rt△ABC中，令C为直角， 则sin B＝， 即＝AB＝. 令角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 则＝， 同理＝， 故＝＝. 思考3：相等 例1　在△ABC中，由正弦定理＝， 得sin B＝sin A＝×＝， 所以B＝60°或B＝120°. ①当B＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°. 又＝， 故c＝＝＝8(＋)； ②当B＝120°时，C＝180°－120°－45°＝15°. 又＝， 故c＝＝＝8(－). 综上所述，当B＝60°时，C＝75°，c＝8(＋)；当B＝120°时，C＝15°，c＝8(－). 跟踪训练1　(1) 在△ABC中，由正弦定理＝， 得sin B＝sin A＝×＝. 因为a>b，所以sin A>sin B， 所以B＝30°，C＝180°－45°－30°＝105°. 又＝， 所以c＝·a＝×16＝8(＋3). (2) 因为b sin A＝16×＝8>8， 所以不存在满足条件的三角形． 跟踪训练2　(1) 因为b sin 2A＝a sin B， 所以由正弦定理可知2sin B sin A cos A＝sin A sin B. 因为sin A sin B≠0，所以cos A＝. 因为A∈(0，π)，所以A＝. (2) 因为sin A＝sin ＝ ... ...