12．3　复数的几何意义 2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

12．3　复数的几何意义 1. 理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数． 2. 了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． 3. 掌握复数的模的计算公式及几何意义． 活动一 理解复数的几何意义及复数的模的计算公式 思考 实数与数轴上的点是一一对应的，实数可以用数轴上的点来表示，那么复数能否也能用点来表示呢？ 1. 复平面． 2. 复数的几何意义． (1) 复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)； (2) 复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 3. 复数的模． (1) 定义：向量的模叫作复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模； (2) 记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|；　 (3) 公式：|z|＝|a＋bi|＝. 4. 实轴、虚轴上的点与复数的对应关系． 实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 例1　在复平面内，分别用点和向量表示下列复数： 4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i. 复数的几何意义就是复数与复平面内的点建立一一对应关系，以及与复平面内从原点出发的向量建立一一对应关系． 若复数(a＋i)(3＋4i)的对应点在复平面的一、三象限角的平分线上，求实数a的值． 例2　已知复数z1＝3＋4i，z2＝－1＋5i，试比较它们模的大小． 复数的模的代数含义就是计算公式. 若|z|－＝1＋5i，求复数z. 例3　设z∈C，则满足下列条件的点Z的集合分别是什么图形？ (1) |z|＝2； (2) 2<|z|<3. 复数的模的几何含义就是复平面内两点之间的距离． 满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面内对应的集合是什么图形？ 活动二　理解复数代数形式的加、减运算的几何意义 5. 复数的加、减法法则及几何意义与运算律． z，z1，z2∈C，设，分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)相对应，且，不共线 加法 减法 运算法则 z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i 几何意义 复数z1＋z2的和与向量＋＝的坐标对应 复数z1－z2的差与向量－＝的坐标对应 运算律 交换律 z1＋z2＝z2＋z1 结合律 (z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3) 例4　已知复数z1＝2＋i，z2＝1＋2i在复平面内对应的点分别为A，B，求对应的复数z，z在复平面内所对应的点在第几象限？ 复数的加、减法的几何意义就是两个复数加、减以后所对应的向量． 已知平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求： (1) 所表示的复数； (2) 对角线所表示的复数； (3) 对角线所表示的复数及的长度． 1. (教材改编)复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. (教材改编)若复数z满足(3－i)z＝4－2i，则|z|的值为(　　) A. 2 B. C. 2 D. 8 3. (多选)(2024昆明期中)下列命题中，正确的是(　　) A. 若复数z满足|z|＝1，则z＝±1或z＝±i B. z1∈C，z2∈C，|z1＋z2|＝|z1|＋|z1| C. 若1＋2i是方程x2－2x＋p＝0(p∈R)的一个根，则该方程的另一个根是1－2i D. 在复平面内，z1，z2所对应的向量分别为，，其中O为坐标原点，若⊥，则|z1＋z2|＝|z1－z2| 4. (2023南通西亭中学期中)复数2＋i与复数在复平面上对应的点分别是A，B，则∠AOB＝_____． 5. (2023常州前黄中学期中)已知复数z1＝1－2i，z2＝2＋i，i为虚数单位． (1) 若复数z1＋az2对应的点在第四象限，求实数a的取值范围； (2) 若复数z＝，求z的模． 12．3　复数的几何意义 【活动方案】 思考：根据复数相等的定义可知，任何一个复数 z＝a＋bi都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定，而有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的．因此，可以用直角坐标系中的点Z(a，b)来表示复数z＝a＋bi. 例1　如图，点A，B，C，D，E分别表示复数4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i.与之对应的向量可用 ... ...