12．4　复数的三角形式 2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

12．4　复数的三角形式* 1. 通过复数的几何意义，了解复数的三角表示． 2. 了解复数的代数表示与三角表示之间的关系． 3. 了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义． 活动一 复数的三角表示式 由复数的几何意义可以知道，复数z＝a＋bi(a，b∈R)、复平面内的点Z(a，b)和平面向量 之间存在着一一对应的关系． 如图，以x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线(起点是原点O)为终边的角θ叫作复数z＝a＋bi的辐角． 很明显，任一非零的复数z＝a＋bi的辐角有无限个值，这些值的差是2π的整数倍．我们把其中适合于0≤θ<2π的辐角θ的值叫作复数z＝a＋bi的辐角主值，记作arg z，即0≤arg z<2π.易知，每一个非零的复数z＝a＋bi都有唯一确定的模与辐角主值；反过来，复数的模与辐角主值可以唯一确定这个复数． 思考1 复数z＝a＋bi能否用模r，辐角θ来表示呢？ 1. 复数的三角形式与代数形式：复数的三角形式为r(cos θ＋isin θ)；复数z的代数形式为a＋bi(a，b∈R). 2. 复数的辐角及辐角主值：以x轴的非负半轴为始边，向量 所在的射线(起点是原点O)为终边的角θ叫作复数z＝a＋bi(a，b∈R)的辐角，把其中适合于0≤θ<2π的辐角θ的值叫作复数z＝a＋bi(a，b∈R)的辐角主值． 活动二　复数的代数形式与三角形式的互化　 例1　将下列各复数转化为三角形式(辐角取辐角主值)： (1) －5i；(2) －10；(3) －1＋i；(4) －i. 　　 只要确定复数z的模和辐角(一般情况取辐角主值)，就能将复数的代数形式表示成三角形式． 将复数1－i转化为三角形式(辐角取辐角主值). 活动三　了解复数的乘法与除法的三角表示及其几何意义　 思考2 设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，你能计算z1z2，并将结果表示成三角形式吗？ 思考3 你能得到复数的乘法、除法的几何意义吗？ 例2　计算下列各式，并把结果化成代数形式： (1) 2(cos 75°＋isin75°)×； (2) (＋i)÷[4(cos ＋isin )]. 1. 复数三角形式的乘法计算是模的相乘和辐角相加； 2. 复数三角形式的除法计算是模的相除和辐角相减． 计算：(cos ＋isin )×(cos ＋isin )×(cos ＋isin ). 例3　设z＝－i对应的向量为，将　绕原点O按逆时针方向和顺时针方向分别旋转60°和30°，求所得向量对应的复数(用代数形式表示). 利用复数三角形式的乘法或除法的几何意义，可以解决平面几何中旋转与伸缩变换的问题． 已知点A(2，－1)，B(－1，3)，四边形ABCD是正方形，且点A，B，C，D按顺时针方向排列，求点C，D对应的复数． 1. (教材改编)计算(cos 36°＋isin 36°)-5的结果为(　　) A. －1 B. 1 C. 2 D. 2. (教材改编)复数z＝－sin ＋icos 的辐角主值为(　　) A. B. C. D. 3. (多选)(2024湖北月考)已知复数z对应的向量为，复数z1＝(－1－i)z对应的向量为，复数z2＝(－i)z对应的向量为，则下列说法中正确的是(　　) A. 将的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转可得到 B. 将的模扩大为原来的2倍，再顺时针旋转可得到 C. 将的模缩小为原来的，再逆时针旋转可得到 D. 将的模缩小为原来的，再顺时针旋转可得到 4. 写出一个argz＝的复数_____． 5. 将下列各复数转化为三角形式(辐角取辐角主值). (1) 2－2i； (2) －2i. 12．4　复数的三角形式* 【活动方案】 思考1：记r＝||＝，则所以z＝r cos θ＋ir sin θ＝r(cos θ＋isin θ)，其中r＝， 例1　(1) 因为r＝＝5，cos θ＝0，sin θ＝－1，θ∈[0，2π)， 所以θ＝，所以－5i＝5. (2) 因为r＝＝10，cos θ＝－1，sin θ＝0， 又θ∈[0，2π)，所以θ＝π， 所以－10＝10(cos π＋isin π). (3) 因为r＝＝2，cos θ＝－，sin θ＝， 又θ∈[0，2π)，所以θ＝， 所以－1＋i＝2. (4) 因为r＝＝2，cos θ＝， sin θ＝－， 又θ∈[0，2π)，所以θ＝， 所以－i＝ ... ...