湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三下学期4月月考 数学试题（含详解）

湖南省长沙市长郡中学2024 2025学年高三下学期4月月考数学试题 一、单选题（本大题共8小题） 1．复数z满足，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则的真子集的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若函数为偶函数，则实数（ ） A．1 B． C．－1 D． 4．空间内有五点A，P，Q，S，T，则“”是“Q为重心”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件 5．已知，，则（ ） A． B． C． D． 6．若，，，，构成等差数列，公差，，且其中三项构成等比数列，设，，则下列说法正确的是（ ） A．k一定大于0 B．，，可能构成等比数列 C．若，，则为5的倍数 D． 7．双曲线C：的左、右焦点分别为，，离心率为，点P在C上，，则的外接圆与内切圆的半径之比为（ ） A． B． C． D． 8．已知正方体，如图，延长至P使，O为的中点，设交平面于K，则下列说法正确的是（ ） A．与异面 B． C．的余弦值为 D．平面与平面的夹角的正切值为 二、多选题（本大题共3小题） 9．下列结论正确的是（ ） A．若随机变量，则 B．测量重力加速度大小实验中所测g的值服从正态分布，则越大时，测得的g在间的概率越大 C．某次考试中有三道题，小黄同学做对每道题的概率均为，则他做对的题数的期望为2 D．已知某10个数据的平均值为7，方差为1.1，则加入一个数据7后方差变为1 10．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，交于点M，交于点D，则（ ） A． B． C． D．若的面积为18，，则 11．函数的定义域为，对，x，，恒成立，且，下列说法正确的是（ ） A．的图象关于对称 B．若在上单调递减，则对x，， C．若是公差不为零且恒不为零的等差数列，则有 D．若为等比数列，公比为3，则 三、填空题（本大题共3小题） 12．已知，其中，，则的最小值为 . 13．已知，，则的值为 . 14．一副二色牌共有纸牌22张，其中红、蓝每种颜色各11张，编号分别为0，1，2，…，10，从这副牌中任取若干张牌，然后按照如下规则计算分值：每张编号为k的牌记为分，若它们的分值之和为2025，就称这些牌为一个“好”牌组，则“好”牌组的个数为 . 四、解答题（本大题共5小题） 15．已知数列满足，，令. (1)证明：数列为等比数列； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.在数列中是否存在3项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 16．已知抛物线C：，直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，. (1)求证：弦过定点； (2)已知弦的中点为T，点关于直线对称的点Q在抛物线C上，求的面积. 17．如图，直三棱柱中，，，. (1)当时，证明：平面平面； (2)当，记平面与平面，平面，平面，平面所成的角分别为，，，，，求的取值范围. 18．已知函数. (1)求的定义域； (2)求证：无论a取何值，都有两个极值点； (3)设的极大值点为，极小值点为，求证：. 19．（1）已知集合，，若集合，其中，，满足，写出所有符合条件的C； （2）集合，，从M，N中各自等概率地取出一个元素a和b，，求X的数学期望； （3）若集合，，满足，，考虑以下2500个数（可以相同）：，，对，设为k在上面2500个数中出现的次数，证明：. （注：表示，，…，中最小的数，.） 参考答案 1．【答案】D 【详解】，则，故的虚部为. 故选D. 2．【答案】C 【详解】或，∴， ∴，故的真子集个数为3个. 故选C. 3．【答案】D 【详解】由函数为偶函数，可得，即， 解之得，则， ， 故为偶函数，符合题意. 故选D. 4．【答案】D 【详解】当Q为重心时，可得， 所以，所以， 所以，∴成立； 设，如图所示则Q可不为重心. 所以“”是“Q为重心”的必要不充分条件. 故选D. 5．【答案】C 【详解】由两边平方，得， ∴，， 而，，∴，∴， ∴. ... ...