浙江省宁波中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题(含详解)

浙江省宁波中学2024 2025学年高三下学期4月月考数学试题 一、单选题（本大题共8小题） 1．记集合，则（ ） A． B． C． D． 2．若，则（ ） A．1 B． C． D．2 3．在正六边形中，若，则（ ） A． B．0 C．1 D．2 4．二项式展开式中，系数最大值为（ ） A．280 B．448 C．560 D．672 5．已知是曲线上一点，，则的最小值为（ ） A． B． C．3 D． 6．在中，，记为边上的高，若，则（ ） A． B． C． D． 7．记抛物线的准线为，焦点为为上两点，直线过，点在上，若，设为坐标原点，则的面积为（ ） A．2 B． C．3 D． 8．如图，一个体积为1的四面体靠在一个足够大的正方体容器中（厚度不计），点在底面上，现向该正方体缓慢注水，已知液面经过时的高度分别为，每次经过四面体顶点时的液面将该四面体分割成的三部分几何体中，表面积最大的体积为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题） 9．掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，下列统计情况中，可能有出现过点数1的有（ ） A．平均数为4，中位数为5 B．平均数为4，众数为3 C．平均数为4，方差为1.6 D．平均数为5，标准差为2 10．设，则函数的极小值点可能是（ ） A．0 B． C． D． 11．已知函数，则（ ） A．对于任意的均为偶函数 B．当时，的最小正周期为 C．当时， D．当时，在上有12个零点 三、填空题（本大题共3小题） 12．记为正项等比数列的公比，若，则 . 13．从1至8的8个整数中随机取2个不同的数组成一个两位数，则该数能被3整除的概率为 . 14．已知分别为双曲线的左 右焦点，在上，其中在第一象限，在第二象限，直线过，且关于直线对称，则四边形的面积为 . 四、解答题（本大题共5小题） 15．某企业前8个月月底的盈利金额（万元）与月份之间的关系如下表所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 1.95 2.92 4.38 6.58 9.87 15.00 22.50 33.70 (1)用模拟与的关系，求出回归方程； (2)根据（1）的结果计算，在几月份的月底统计的盈利金额开始超过60万元？ 附：①； ②； ③回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式为：. 16．已知分别是轴，轴上的动点，，若点满足，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)是与直线的一个交点，若，求直线的方程. 17．已知函数. (1)若，求的最小值； (2)若函数在上单调递增，求的取值范围. 18．如图，在三棱柱中，为的重心，平面，记二面角与的大小分别为. (1)当时，时. （i）证明：； （ii）求； (2)若，求的取值范围. 19．已知各项均为正整数的数列满足. (1)若，求； (2)已知. （i）求； （ii）证明：可以为定值，且当为定值时，. 参考答案 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】C 9．【答案】AD 10．【答案】ABC 11．【答案】ABD 12．【答案】5 13．【答案】 14．【答案】16 15．（1）令，则， ， ， 故. （2）令， 故， 故10月开始超过. 16．（1）设，， 则有， 得，则，即， 由，得， 综上，故. （2）设，则， 则，即， 因为，且共线，则四点共线， 联立直线与，消去得， ， ， ， ，代入 整理得， 解得，， 综上，直线或或或. 17．（1）方法一：基本不等式 ， 当，即时，取“”. 方法二：导函数 ， 易知函数在上单调递增，， 当时，函数在上单调递减， 当时，函数在上单调递增， 故. （2），令，解得， 当时：设，则， 故函数在上单调递增，即， 故函数在上单调递增，充分性成立. 当时，，， 易知当时，，则函数在上单调递减. 综上可得. 18．（1）（i）延长交于，则是的中点； ，， 平面，平面， ， ，平面， 平面，平面， ，. （ii）为的重心，，所以， 由平面得，故， 如图，过作，以分别为轴建立空间直角坐标系， 因为二面角与的大小分别为，知即二面角， ， 故， 设平面 ... ...