湖北省高中名校联盟2025届高三第四次联合测评 数学试卷参考答案与详解 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B A D B D A C BCD AC ABD 1.【答案】A 【详解】因为U= x|x+2≥0 ,A= x|x2≤4 ,所以U= x|x≥-2 ,A= x|-2≤x≤2 , 所以 UA={x|x>2}.故选:A 2.【答案】B 【详解】法一:设z=x+yi x,y∈R ,则z+ z =x+yi+ x2+y2=1+3i. x+ x2+y2=3, 由复数相等,得 所以x=1.y=3, 即z=1+3i,所以z =1-3i,所以z 的虚部为-3. 法二:由z+ z =1+3i,得z=1- z +3i,所以z =1- z -3i. 所以z 的虚部为-3.故选:B 3.【答案】A 【详解】含x2项的系数分别为C2 23,C4,C25,它们的和为C2 2 23+C4+C5=3+6+10=19. 故选:A 4.【答案】D 【详解】 a S -S因为等差数列 an , bn 的前n项和分别为S 5 n,Tn,所以b = 5 4, 4 T4-T3 S 因为 n= n ,所以可设 2, ( ),则 , ,Tn 2n+1 Sn=kn Tn=kn2n+1 S5-S4=9kT4-T3=15k a 所以 5=9k 3 故选:b4 15k=5. D 5.【答案】B 【详解】方法一:建立如图所示的直角坐标系,则A(2,0),B(1,3),D (2cosθ,2sinθ),所以AD→=(2cosθ-2,2sinθ),A→B=(-1,3). 所以AD→·A→B=23sinθ-2cosθ+2=4sin(θ-π)6 +2. 当sin(θ-π) 时,→· →取最小值6 =-1 AD AB -2. 故选:B. 数学试卷参考答案与详解 第 1页(共8页) 方法二:如图,作圆的直径EF∥AB,过E 作EC⊥BA 的延长线,垂足为C. 而AD→·A→B 可以看作AD→在A→B 上的投影向量与A→B 的数量积. 由圆的性质知,当D 与E 重合时,AD→·A→B 取得最小值. 因为AB=OA=2,所以∠BAO=∠OAE=∠EAC=π,3 则AC=12×2=1. 所以AD→·A→B 的最小值为A→C·A→B=1×2cos180°=-2. 故选:B. 6.【答案】D 【详解】因为f -x =e-x-ex+sin2x=-f x ,所以f x 为奇函数. 又f' x =ex+e-x-2cos2x≥2 ex·e-x-2cos2x=2-2cos2x≥0,所以f x 在R上单调递增. 由f lnx +f -ax <0,得f lnx <-f -ax =f ax ,所以lnx
lnx,所以只需a> lnxx x .max 令g x = lnx,则 ' x =1-lnxg 2 .所以g x 在(2,e)上单调递增,在(e,+ )上单调递减x x . 所以 1 1g x max=g e = ,所以e a> . 故选: e D 7.【答案】A 【详解】选取小球x,y有A210=90种选法. 若ix+iy 为实数,则有2种情况: ①x为偶数,则y为偶数,有A25=20种选法; ②x为奇数,则y为奇数,设A= 1,5,9 ,B= 3,7 ,x在A 中任取一个数,y在B 中任取一个数;或 者,x在B 中任取一个数,y在A 中任取一个数,共3×2+2×3=12种选法. 所以,所求概率为20+12=16 故选:90 45. A 8.【答案】C 【详解】如图,取长方体的下底面的各边中点E,F,G,H,上底面的中心为Q,下底面的中心为O. 平面ADP 与平面BCP 的夹角为α,平面ABP 与平面CDP 的夹角为β,过P 作PM⊥A'B'于M,作 PN⊥B'C'于N,则∠AMB=α,∠BNC=β.所以α>β,等价于P 到HF 的距离比到EG 的距离大,所 以P 在如图所示的阴影范围内. 在△APC 和△BPD 中,AC=BD,PQ 公共,Q 为共同的中点,∠APC,∠BPD 的大小由PQ 与AC, BD 所成的角大小所决定.所成角越小,则对应角越大. 显然PQ 与AC 和BD 所成的角的大小关系不确定,当P 在靠近A'时PQ 与直线AC 所成的角较小, 与直线BD 所成的角则接近于90°,此时∠BPD>∠APC.同样当P 接近于D'时∠APC>∠BPD,故 数学试卷参考答案与详解 第 2页(共8页) A、B错误; ∠APD 与∠BPC 的大小关系实际上是看P 在EG 的左侧还是右侧. 若P 在EG 左侧,则∠APD>∠BPC;若P 在EG 右侧,则∠APD< ∠BPC,若是在EG 上,则∠APD=∠BPC. 同样,P 在HF 的前面,则∠APB>∠CPD;P 在HF 上, 则∠APB=∠CPD;P 在HF 的后面,则∠APB<∠CPD. 所以当P 在A'OE 内时,max{∠APD,∠BPC}=∠APD, min{∠APD,∠BPC}=∠BPC,max{∠APB,∠CPD}=∠APB, min{∠APB,∠CPD}=∠CPD. 因为PH>PE,所以∠APD<∠APB.因为PG>PF,所以∠BPC>∠CPD. 因此max{∠APD,∠BPC}
