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课件网) 微专题 球的切接问题 一、多面体与球的切接问题 (一)正方体与球 例1.将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积. O 解：由题意知2R=6，即R=3. ∴最大球零件的体积为 正方体内切球直径2R=正方体棱长a (2R=a) 1.正方体的内切球 2.正方体的棱切球 正方体的棱切球直径2R=正方体的面对角线长a 即2R=a 例2.棱长为a cm的正方体的顶点都在球面上， 求球的体积. 3.正方体的外接球 ③正方体的外接球直径=正方体体对角线长. 正方体的中心与其外接球球心重合. [变式1]一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为____. 一、多面体与球的切接问题 (二)长方体与球 思考：一般的长方体有内切球吗？ 如果一个长方体有内切球，那么它一定是 正方体 1.长方体的内切球 [例3]设长方体的长、宽、高分别为3, 2, 1，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_____. 2.长方体的外接球 O 长方体的外接球直径=长方体的体对角线长. 长方体的中心与其外接球球心重合. A B C D D1 2.长方体的外接球 解：设长方体共顶点的三条棱长分别为a,b,c，则 O a b c [变式2]长方体的共顶点的三个侧面的对角线长分别为，，，则它的外接球的表面积为_____. 一、多面体与球的切接问题 (三)正棱锥与球 法1：等体积法 1.正棱锥的内切球 1.正棱锥的内切球 练习：已知正四棱锥的侧棱长为 ，底面边长为2，则该四棱锥的内切球的体积为_____. 1.正棱锥的内切球 法2：利用相似三角形求内切球的半径 1.正棱锥的内切球 2.正棱锥的外接球 正棱锥的外接球球心在其高上. 底面正多边形的外接圆圆心为Q，半径为r, 正棱锥外接球半径为R，高为h [例5]已知正三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则此球的半径为____. 一、多面体与球的切接问题 (四)正四面体与球 O D R O′ P C B A a R O A D O′ P R a R 若正四面体的棱长为a，高为h，正四面体的外接球半径为R，内切球半径为r，则h=a，R=a，r=a，R:r=3:1. r 8.正四面体的外接球、内切球 O D R O′ P C B A a (法1)如图构造直角三角形. R O A D O′ P R a R 8.正四面体的外接球 若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积. (法2：补形法)把正四面体放在正方体中， 则正方体的外接球就是正四面体的外接球， 设正方体棱长为x， O P C B A 8.正四面体的外接球 若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积. 正四面体内切球与外接球 一、多面体与球的切接问题 (五)正三棱柱与球 [例7]设直三棱柱的所有棱长都为2，且顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_____. 5.正三棱柱的外接球 球心到正三棱柱两底面的距离相等。 O O2 C B A 2 O1 2 正三棱柱两底面中心连线的中点为其外接球球心. D 二、旋转体与球的切接问题 1.圆柱的外接球 1.圆柱的外接球 2.圆锥的外接球 [例9]球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_____. O 2.圆锥的外接球 解：①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，设球的半径为r， ②当圆锥顶点与底面在球心同侧时，设球的半径为r， 三、补形法 （一）补形为长方体 1.底面是直角三角形的直三棱柱 A B C A B C 例10 2.三条侧棱两两垂直的三棱锥 例11.在球面上有四个点P,A,B,C，若PA,PB,PC两两垂直 且PA=PB=PC=2，则该球的体积为_____. END ... ...
