上海市普陀区2024-2025学年高三下学期质量调研数学试题(含详解)

上海市普陀区2024 2025学年高三下学期质量调研数学试题 一、填空题（本大题共12小题） 1．不等式的解集是 . 2．已知复数，其中i为虚数单位，则 . 3．已知事件与事件相互独立，若，则 . 4．设，，是等差数列的前项和，若，则的值为 . 5．设，拋物线上的点到的焦点的距离为5，点到轴的距离为3，则的值为 . 6．设，若的展开式中项的系数为10，则 . 7．在一个不透明的盒中装着标有数字1，2，3，4的大小与质地都相同的小球各2个，现从该盒中一次取出2个球，设事件为“取出2个球的数字之和大于5”，事件为“取出的2个球中最小数字是2”，则 . 8．若一个圆锥的高为，侧面积为，则该圆锥侧面展开图中扇形的中心角的大小为 . 9．设，函数的表达式为，则对任意的实数，皆有成立的一个充分条件是 . 10．设为正整数，集合，若集合满足，且对中任意的两个元素，皆有成立，记满足条件的集合的个数为，则 . 11．在棱长为4的正方体中，，若一动点满足，则三棱锥体积的最大值为 . 12．设，函数的表达式为，若函数恰有三个零点，则的取值范围是 . 二、单选题（本大题共4小题） 13．某市职业技能大赛的移动机器人比赛项目有19位同学参赛，他们在预赛中所得的积分互不相同，只有积分在前10位的同学才能进入决赛.若该比赛项目中的某同学知道自己的积分后，要判断自己能否进入决赛，则他只需要知道这19位同学的预赛积分的（ ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 14．设，在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，若角的终边经过点，且，则角属于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．设，点，是坐标原点，，是双曲线的左焦点，若直线经过点，且与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是（ ） A． B． C． D． 16．设，，、，是数列的前项和，且满足，数列是由个大于的整数组成的有穷数列，若，，则称数列是数列的“数列”.对于数列有如下两个命题：①若，则数列不是数列的“数列”；②若，则数列的“数列”至少有5个.则下列结论中正确的是（ ） A．①为真②为真 B．①为真②为假 C．①为假②为真 D．①为假②为假 三、解答题（本大题共5小题） 17．如图，在三棱柱中，，且. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 18．设，函数的表达式为. (1)若，设的内角的对边分别为，，且，求的面积. (2)对任意的，皆有成立，且该函数在区间上不存在最小值，求函数在的单调区间. 19．某区为推进教育数字化转型，通过聚合区域学校的教育资源，依托AI技术搭建了区域智慧题库系统，形成了“通识过关—综合拓展—创新提升”三层动态原库，且三层题量之比为，设该题库中任意1道题被选到的可能性都相同. (1)现有4人参加一项比赛，若每人分别独立地从该题库中随机选取一道题作答，求这4人中至少有2人的选题来自层的概率； (2)现采用分层随机抽样的方法，使用智能组卷系统从该题库中选取12道题生成试卷，若某老师要从生成的这份12道题的试卷中随机选取3道题做进一步改编，记该老师选到层题的题数为，求的分布与期望． 20．设，点分别是椭圆的上顶点与右焦点，且，直线经过点与交于两点，是坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)若，点是轴上的一点，且的面积为，求点的坐标； (3)若点在直线上，向量在直线上的投影为向量，证明. 21．已知，对于函数，，设集合，，记. (1)若函数，请判断中元素的个数，并说明理由； (2)设，函数，若，求的值以及曲线在点处的切线方程； (3)设，函数，若对于任意的，皆有成立，求的取值范围. 参考答案 1．【答案】 【详解】因为, 所以原不等式的解集为：. 2．【答案】 【详解】因为， . 3．【答案】/ 【详解】由独立事件性质， ， . 4．【答案 ... ...