第四章 第九节　三角函数与解三角形中的最值（范围）问题（课件 学案 练习，共3份）2026届高中数学（通用版）一轮复习

第九节　三角函数与解三角形中的最值（范围）问题 1.若函数f（x）＝（1＋tan x）cos x，0≤x＜，则f（x）的最大值为（　　） A.1 B.2 C.＋1 D.＋2 2.记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，B＝2A，则b的取值范围是（　　） A.（0，4） B.（2，2） C.（2，4） D.（2，4） 3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin A＋2csin C＝2bsin Ccos A，则角A的最大值为（　　） A. B. C. D. 4.（2025·连云港阶段性调研）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acos B＝c－a.当取最小值时，则A＝（　　） A. B. C. D. 5.（2024·台州二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acos C＝2ccos A，则的最大值为（　　） A.　　　 B. C.　　　 D.3 6.〔多选〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设BC边上的中点为M，△ABC的面积为S，其中a＝2，b2＋c2＝24，则下列说法中正确的是（　　） A.若A＝，则S＝3 B.S的最大值为3 C.AM＝3 D.角A的最小值为 7.函数y＝的最大值是　　　　，最小值是　　　　. 8.（2024·合肥第一次教学质量检测）已知函数f（x）＝2sin（3x＋φ）（－π＜φ＜0）图象的一条对称轴为x＝，当x∈[0，t]时，f（x）的最小值为－，则t的最大值为　　　　. 9.△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足asin（B＋C）＝（b－c）sin B＋csin C. （1）求A； （2）若点D在边BC上，a＝2，且AD⊥BC，求AD的最大值. 10.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且（2＋b）（sin A－sin B）＝（c－b）sin C. （1）求A； （2）求△ABC周长的取值范围. 11.已知函数f（x）＝sin（2x＋）－cos（2x＋）＋（1－2sin2x）. （1）求f（x）的单调递增区间； （2）记a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且f（）＝，BC的中线AD＝3，求△ABC面积的最大值. 12.（创新解题路径）在人类用智慧架设的无数座从已知通向未知的“金桥”中，用二分法求方程的近似解是其中璀璨的一座.已知A为锐角△ABC的内角，满足sin A－2cos A＋tan A＝1，则A的取值范围是（　　） A.（0，） B.（，） C.（，） D.（，） 13.（新定义）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，△ABC的面积为S，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin C＝. （1）证明：△ABC是倍角三角形； （2）若c＝9，当S取最大值时，求tan B. 第九节　三角函数与解三角形中的最值（范围）问题 1.B　f（x）＝（1＋·）cos x＝cos x＋sin x＝2sin（x＋），∴当x＝时，f（x）取得最大值2. 2.C　因为a＝2，B＝2A，所以解得0＜A＜，所以＜cos A＜1，由正弦定理得＝＝，得b＝4cos A，所以2＜4cos A＜4，所以2＜b＜4.故选C. 3.A　因为asin A＋2csin C＝2bsin Ccos A，由正弦定理可得a2＋2c2＝2bccos A，所以cos A＝　①，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A　②，由①②可得2a2＝b2－c2，所以cos A＝＝＝，因为b2＋3c2≥2＝2bc，当且仅当b＝c时取等号，所以cos A≥＝，又A∈（0，π），所以角A的最大值为.故选A. 4.B　因为2acos B＝c－a，结合余弦定理得，2a·＝c－a，整理得c＝－a，所以＝＝＋≥2＝4，当且仅当＝，即b＝a时，等号成立，此时c＝－a＝a，此时cos A＝＝＝，又因为A∈（0，π），所以A＝，故选B. 5.C　因为acos C＝2ccos A，所以由余弦定理的推论得a·＝2c·，整理可得3a2＝b2＋3c2，所以3a2＝b2＋3c2≥2bc，即≤，当且仅当b＝c时等号成立，即的最大值为.故选C. 6.ABC　若A＝，根据a2＝b2＋c2－2bccos A，可得bc＝12，所以S＝bcsin A＝×12×＝3，故选项A正确；因为24＝b2＋c2≥2bc，则bc≤12，当且仅当b＝c＝2时等号成立，由余弦定理可得cos A＝＝＝，则S＝bc·si ... ...