第四章 第七节　余弦定理和正弦定理的综合应用（课件 学案 练习，共3份）2026届高中数学（通用版）一轮复习

第七节　余弦定理和正弦定理的综合应用 1.（2025·芜湖联合检测）在△ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c. （1）请用正弦定理证明：若a＞b，则A＞B； （2）请用余弦定理证明：若A＞B，则a＞b. 2.（2025·咸阳模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos B＋b＝c. （1）求A； （2）若b＝3，c＝，求△ABC中BC边上高线的长. 3.（2024·潍坊高考模拟考试）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a（sin B＋cos B）＝c. （1）求A； （2）若c＝，a＝，D为BC的中点，求AD. 4.（2024·湘豫名校联考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos 2B＋cos 2C＝2cos2A－2sin Bsin C. （1）求A； （2）若∠BAC的平分线交BC于点D，b＝3，c＝4，求AD的长. 5.（2024·宜宾模拟）如图，平面四边形ABCD内接于一个圆，且AB＝5，BD＝3，A为钝角，sin A＝. （1）求cos∠ADB； （2）若BC＝5，求△BCD的面积. 6.（2025·佛山校联考）记锐角 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2C＋sin2B－sin2A＝sin Bsin C. （1）求A； （2）已知A的角平分线交BC于点D，求的取值范围. 第七节　余弦定理和正弦定理的综合应用 1.证明：（1）由＝，a＞b得sin A＞sin B. ①若A，B∈（0，］，则由y＝sin x在（0，］上单调递增，得A＞B. ②若A∈（0，］，B∈（，π），则sin A＞sin B＝sin （π－B），此时π－B∈（0，）. 由y＝sin x在（0，］上单调递增，得A＞π－B A＋B＞π，舍去. ③若B∈（0，］，A∈（，π），则sin A＝sin（π－A）＞sin B，此时π－A∈（0，）， 由y＝sin x在（0，］上单调递增，得π－A＞B，A＋B＜π，则A＞B成立. 综上，若a＞b，则A＞B. （2）由y＝cos x在（0，π）上单调递减，得cos A＜cos B， 则＜，则a（b2＋c2－a2）＜b（a2＋c2－b2）， 即ab（b－a）＋c2（a－b）＋（b－a）（a2＋b2＋ab）＜0， 即（b－a）[（a＋b）2－c2]＝（b－a）（a＋b＋c）（a＋b－c）＜0. 而a＋b＋c＞0，a＋b－c＞0，因此a＞b. 2.解：（1）因为acos B＋b＝c， 由正弦定理可得sin Acos B＋sin B＝sin C＝sin（A＋B）＝sin Acos B＋sin Bcos A，　 所以sin B＝sin Bcos A， 又0＜B＜π，所以sin B＞0， 所以cos A＝， 因为0＜A＜π，所以A＝. （2）由已知及余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝9＋3－2×3××＝3，所以a＝， 设△ABC中BC边上的高线长为h， 则S△ABC＝bcsin A＝ah，解得h＝. 故BC边上高线的长为. 3.解：（1）在△ABC中，由正弦定理得， sin A（sin B＋cos B）＝sin C， 由A＋B＋C＝π， 得sin C＝sin（A＋B）， 所以sin Asin B＋sin Acos B＝sin Acos B＋sin Bcos A，　 得sin Asin B＝sin Bcos A， 因为sin B≠0，所以tan A＝1， 因为A∈（0，π），所以A＝. （2）在△ABC中，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC， 得5＝b2＋2－2b××， 所以b2－2b－3＝0， 又b＞0，所以b＝3. 因为D为BC的中点，所以＝（＋）， 两边同时平方得｜｜2＝（c2＋b2＋2bccos∠BAC）＝， 所以｜｜＝，即AD＝. 4.解：（1）因为cos 2B＋cos 2C＝2－2sin2A－2sin Bsin C， 所以1－2sin2B＋1－2sin2C＝2－2sin2A－2sin Bsin C， 即sin2A＝sin2B＋sin2C－sin Bsin C， 由正弦定理得a2＝b2＋c2－bc， 又由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得cos A＝， 因为A∈（0，π），所以A＝. （2）在△ABC中，A＝， 由等面积法得S△ABC＝S△ABD＋S△ACD， 即bcsin A＝c·AD·sin＋b·AD·sin， 即×3×4×＝×4×AD×＋×3×AD×，所以AD＝. 5.解：（1）在△ABD中，AB＝5，BD＝3，sin A＝， 由正弦定理可得＝，即＝，解得sin∠ADB＝. 又A为钝角，所以∠ADB为锐角，则cos∠ADB＝. （2）由平面四边形ABCD内接于一个圆可得A＋C＝π，所以sin C＝， 又A为 ... ...