三角形中的射影定理及应用 射影定理：在△ABC中， 不少高考原题用射影定理可以快速化简得出答案，可以将这一组关系式记住，而射影定理也比较好记，以a＝bcos C＋ccos B为例，左侧是边a，则右侧没有边a和角A，记住右侧的形式就可以了，两边两余弦交叉相乘相加. 提醒 大题不建议直接使用射影定理. （1）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，则B＝（ ） A. B. C. D. （2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝ ； （3）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcos C＋ccos B＝2b，则＝ . 听课记录 1.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B·（1＋2cos C）＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是（ ） A.a＝2b B.b＝2a C.A＝2B D.B＝2A 微突破 三角形中的射影定理及应用 【例】 （1）A （2） （3）2 解析：（1）法一 asin Bcos C＋csin Bcos A＝b sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B sin Acos C＋sin Ccos A＝sin（A＋C）＝sin（π－B）＝sin B＝，a＞b A＞B B为锐角 B＝. 法二 由射影定理，asin Bcos C＋csin Bcos A＝（acos C＋ccos A）sin B＝bsin B＝b，故sin B＝.又a＞b，所以A＞B，即B为锐角，故B＝. （2）法一 2bcos B＝acos C＋ccos A 2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin（A＋C）＝sin（π－B）＝sin B，即2sin Bcos B＝sin B.因为0＜B＜π，所以sin B＞0，故cos B＝，即B＝. 法二 由射影定理，2bcos B＝acos C＋ccos A＝b cos B＝，结合0＜B＜π，知B＝. （3）法一 bcos C＋ccos B＝2b sin Bcos C＋sin Ccos B＝2sin B sin（B＋C）＝2sin B sin（π－A）＝sin A＝2sin B a＝2b ＝2. 法二 由射影定理，得bcos C＋ccos B＝2b a＝2b ＝2. 跟踪训练 1.B 法一 等式中每一项都有齐次的边，故化为正弦值，得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，即sin（B＋C）＝sin（π－A）＝sin A＝sin2A，结合A∈（0，π）知sin A＞0，故sin A＝1，所以A＝，即△ABC为直角三角形. 法二 由射影定理，bcos C＋ccos B＝a＝asin A sin A＝1 A＝，即△ABC为直角三角形. 2.A 法一 sin B（1＋2cos C）＝sin B＋2sin Bcos C＝sin[π－（A＋C）]＋2sin Bcos C＝sin（A＋C）＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋cos Asin C＋2sin Bcos C.由题意sin Acos C＋cos Asin C＋2sin Bcos C＝2sin Acos C＋cos Asin C，故sin Acos C＝2sin Bcos C.因为△ABC为锐角三角形，所以cos C＞0，故2sin B＝sin A，即2b＝a. 法二 由正弦定理，sin B（1＋2cos C）＝2sin Acos C＋cos Asin C b（1＋2cos C）＝2acos C＋ccos A.由射影定理，2acos C＋ccos A＝acos C＋（acos C＋ccos A）＝acos C＋b，所以b（1＋2cos C）＝acos C＋b.即2bcos C＝acos C，因为△ABC为锐角三角形，所以cos C＞0，故2b＝a. 1 / 1(
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