第五章 第三节　平面向量的数量积及应用（课件 学案 练习，共3份）2026届高中数学（通用版）一轮复习

第三节　平面向量的数量积及应用 1.（2024·重庆部分学校联考）已知向量a＝（m，1），b＝（0，3），且a⊥（a－b），则m＝（　　） A. B.2 C.± D.±2 2.（2025·肇庆质量检测）已知e1，e2是单位向量，且它们的夹角是60°.若a＝e1＋2e2，b＝λe1－e2，且｜a｜＝｜b｜，则λ＝（　　） A.2 B.－2 C.2或－3 D.3或－2 3.（2025·河南五市第一次联考）平面向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝3，｜a＋b｜＝4，则b在a方向上的投影向量为（　　） A.a B.a C.a D.a 4.已知a，b为单位向量，且｜3a－5b｜＝7，则a与a－b的夹角为（　　） A. B. C. D. 5.〔多选〕设a为非零向量，下列有关向量的描述正确的是（　　） A.｜｜＝1 B.∥a C.＝a D.·a＝｜a｜ 6.〔多选〕已知向量m＋n＝（3，1），m－n＝（1，－1），则（　　） A.（m－n）∥n B.（m－n）⊥n C.｜m｜＝｜n｜ D.＜m，n＞＝45° 7.在四边形ABCD中，＝（3，－1），＝（2，m），⊥，则该四边形的面积是　　　　. 8.设a＝（－2，1），b＝（m，－1），m∈R，若a与b的夹角为钝角，则m的取值范围是　　　　. 9.已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，（a＋b）·b＝8. （1）求｜a＋b｜的值； （2）当k为何值时，ka－b与a＋2b垂直？ （3）求向量a与a＋b的夹角的余弦值. 10.早在公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三股四弦五”，《周髀算经》中曾有记载，大意为：“当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5”，故勾股定理也称为商高定理.现有△ABC的三边满足“勾三股四弦五”，其中勾AC的长为3，点A在弦BC上的射影为点D，则（－）·＝（　　） A.　　　 B. C.－　　　 D.－ 11.已知非零向量，满足＝，且·＝，则△ABC为（　　） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 12.在如图所示的平面图形中，已知OM＝2，ON＝1，∠MON＝60°，＝3，＝3，则·＝　　　　. 13.（定义新运算）（2024·北京人大附中统练）定义平面向量的一种运算a☉b＝｜a＋b｜×｜a－b｜×sin＜a，b＞，其中＜a，b＞是a与b的夹角，给出下列命题：①若＜a，b＞＝90°，则a☉b＝a2＋b2；②若｜a｜＝｜b｜，则（a＋b）☉（a－b）＝4a·b；③若｜a｜＝｜b｜，则a☉b≤2｜a｜2；④若a＝（1，2），b＝（－2，2），则（a＋b）☉b＝.其中真命题的序号是　　　　. 14.在平面直角坐标系xOy中，点A（－1，－2），B（2，3），C（－2，－1）. （1）求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； （2）设实数t满足（－t）·＝0，求t的值. 15.（拓广创新题）设有n维向量a＝，b＝，称[a，b]＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn为向量a和b的内积.当[a，b]＝0时，称向量a和b正交.设Sn为全体由－1和1构成的n元有序数组对应的向量的集合. （1）若a＝，写出一个向量b，使得[a，b]＝0； （2）令B＝{[x，y]｜x，y∈Sn}，若m∈B，证明：m＋n为偶数； （3）若n＝4，f（4）是从S4中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足[a，b]＝0，猜测f（4）的值，并给出一个实例. 第三节　平面向量的数量积及应用 1.C　因为a＝（m，1），b＝（0，3），所以｜a｜＝，a·b＝m×0＋1×3＝3.因为a⊥（a－b），所以a·（a－b）＝0，即a2－a·b＝m2＋1－3＝0，解得m＝±. 2.D　∵｜a｜＝｜b｜，即｜e1＋2e2｜＝｜λe1－e2｜，∴＋4e1·e2＋4＝λ2－2λe1·e2＋，∴1＋4×1×1×＋4＝λ2－2λ×1×1×＋1，解得λ＝3或λ＝－2.故选D. 3.C　由｜a＋b｜＝＝＝＝4可得a·b＝，而b在a方向上的投影向量为a＝a＝a＝a.故选C. 4.C　因为a，b为单位向量，且｜3a－5b｜＝7，所以（3a－5b）2＝49 9a2－30a·b＋25b2＝49，即9－30a·b＋25＝49 a·b＝－，设a与a－b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝.故选C. 5.ABD　因为表示与 ... ...