福建省南平市2025届高中毕业班第三次质量检测（南平三检）（图片版，含答案）

南平市 2025 届高中毕业班第三次质量检测 数学试题参考答案及评分标准 说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数 的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：每小题 5 分，满分 60 分． 1．B 2．B 3．D 4．C 5．D 6．D 7．A 8．B 二、选择题：每小题 5 分，满分 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分． 9．AC 10．BCD 11．BCD 三、填空题：每小题 5 分，满分 20 分． 12． 7 ．5 4 213 14． 4 3 ， （第一个空 2 分，第二个空 3 分） 3 3 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分 13 分） π 解：（1）证明：由正弦定理，得 sin C sin( + B) = sin Asin C ， …… 2 分 3 因为0 C π ，所以 sin C 0 ， 所以 sin( π + B) = sin A ． …… 3 分 3 又因为 a = b ，所以 A = B， π π 所以 + B + A = π， + 2A = π . 3 3 A = π解得 ． …… 6 分 3 又因为 a = b ， 所以△ABC 为等边三角形． …… 7 分 （2）在△ACD 中，由余弦定理，得 AC2 = DA2 + DC2 2DA DC cos ADC ， 解得 AC2 = 21． ……10 分 四边形 ABCD 的面积 3S = S△ABC + S△ACD = 21+ 1 3 3 sin 5π = 6 3 ， 4 2 6 数学参考答案 第 1 页 共 7 页 所以四边形的 ABCD 面积为6 3 . ……13 分 16．（本题满分 15 分） 解：（1） f (x) = e x 1 2， …… 1 分 令 f (x) = 0 ，解得 x =1+ ln 2 ． …… 2 分 当 x ( ，1+ ln 2)时， f (x) 0 ， f (x) 单调递减； 当 x (1+ ln 2，+ )时， f (x) 0 ， f (x) 单调递增． 所以 f (x) 的单调减区间为 ( ，1+ ln 2)，单调增区间为 (1+ ln 2，+ ) ． … 6 分 x+ln x 1 （2）解法一：设 g(x) = xf (x) + x ln x （ x 0 ），则 g(x) = e (x + ln x) ， … 9 分 设 t = x + ln x 1（ t R ），要证 g(x)≥0 ， t 即证 e (t +1)≥0． ……10 分 t t 设 h(t) = e (t +1) ，令 h (t) = e 1= 0，得 t = 0 ， ……12 分 t ( ，0) 时， h (x) 0 ， h(x) 单调递减； t (0，+ ) 时， h (x) 0， h(x) 单调递增． 所以 h(t) e t (t +1)≥0 min = h(0) = 0，所以 ． 则 xf (x) + x ln x≥0，得证． ……15 分 解法二： 设 g(x) = xf (x) + x ln x （ x 0 ）， 则 g (x) = (x +1)ex 1 1 1 ． …… 7 分 x g (x) = (x +1)(ex 1即 1 ) …… 8 分 x t (x) = ex 1 1因为 x 0 ，所以函数 在 (0，+ ) 上单调递增，且 t(1) = 0． ……12 分 x 当 x (0，1) 时， t(x) 0 则 g (x) 0 ， g(x) 单调递减； 当 x (1，+ ) 时， t(x) 0 则 g (x) 0， g(x) 单调递增． g(x) = g(1) = 0 ，所以 xf (x) + x ln x≥0min ，得证． ……15 分 17．（本题满分 15 分） 解：（1）解法一：因比赛局数为 4（若到第 4 局未分胜负比赛也终止）， 所以第四局甲队或乙队可胜可负， 则只需考虑前两局比赛即可． …… 2 分 数学参考答案 第 2 页 共 7 页 前两局甲队和乙队各胜 1 局负 1 局， 所以所求概率 p0 = 2 1 2 = 4 ． …… 4 分 3 3 9 解法二：若 4 局比赛结束甲队赢得比赛，甲乙两队的得分情况为 3：1， 1 2 2 1 4 此时对应的概率 P1= 2 ( ) = ． …… 1 分 3 3 3 81 若 4 局比赛结束乙队赢得比赛，甲乙两队的得分情况为 1：3， 2 2 1 2 16 此时对应的概率 P2= 2 ( ) = ． …… 2 分 3 3 ... ...