第八章 考教衔接　解析几何中减少运算量的常见技巧（课件 学案，共2份）2026届高中数学（通用版）一轮复习

　解析几何中减少运算量的常见技巧 直线方程的正设与反设 　常用的设线方式有以下几种：普通直线情况选用y＝kx＋m和x＝ty＋m；如果已知直线过某点（x0，y0），那么可以选择y－y0＝k（x－x0）和x－x0＝t（y－y0）两种方式，需要注意的是，该设法不包含与坐标轴平行的特殊情况，在书写过程中要注意分类讨论；另外，当直线过非坐标轴上的定点，例如过点P（3，－5）时，若设y＝k（x－3）－5的形式，那么联立形式太麻烦，此情况我们可以设直线方程为y＝kx＋m，联立之后，化简表达式，最终再利用3k＋m＝－5消元即可.直线和圆相切亦是如此. 如图所示，已知抛物线y2＝x和点P（1，1），过点（0，）作直线l与抛物线交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为坐标原点.求证：A为线段BM的中点. 反思感悟 　　题干为求证A为线段BM的中点，设出M，N两点的坐标，表示坐标关系，化简可得＋＝2，即证该式成立，该式和y关系紧密，故采用反设法计算量会更小. 关联设元法 　关联设元法是减少运算量的常见方法，关联设元法常见的一般类型： （1）两条相互垂直的直线，斜率可以设为k与－（注意讨论特殊情况，下同）； （2）关于x轴或者y轴对称的直线，斜率可以设为k与－k（倾斜角互补）； （3）在解题的时候，熟记字母最少原则，不管是点还是线，变量尽量少，形式尽量一致； （4）熟练使用“同理可得”，同形式的计算，使用轮换对称的方式处理. 已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）. （1）求椭圆的标准方程； （2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，若kAC·kBD＝－. ①求·的最值； ②求证：四边形ABCD的面积为定值. 反思感悟 　　本题设kAC＝k，则kBD＝－，不必再设直线BD的斜率.另外，计算B点的横坐标时，用－代替k，代入｜x1｜＝，得｜x2｜＝，不必再解方程组. 非对称化处理 形式不对称：例如＋，（x1＋1）（x2＋1），＝，，，x1＝3x2，y1＝－2y2的形式如何处理呢？ （1）配凑：如＋＝（x1＋x2）2－2x1x2，（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2，（＋）2＝x1＋x2＋2，（x1＋1）（x2＋1）＝x1x2＋x1＋x2＋1； （2）曲线代换：若两点均在曲线＋y2＝1和直线y＝kx－上，那么形如的式子如果用直线替换显然麻烦，注意到＋＝1 ＝9－9 ＝9（1－y1）（1＋y1），替换掉原式中含有的（1－y1），可以得到； 若两点均在曲线y2＝4x和直线x＝ty＋1上，联立可以得到y2－4ty－4＝0，得到y1y2＝－4，显然x1x2的式子使用曲线代换更简单，则x1x2＝·＝1； （3）解方程组：运用根与系数的关系，由已知可以得到两根x1，x2有一定的等量关系，这时采用方程组法消去一个根再进行化简，当然也可以由非对称式转化为对称式处理. 已知椭圆x2＋＝1短轴的左右两个端点分别为A，B，直线l：y＝kx＋1与x轴，y轴分别交于E，F两点，与椭圆交于C，D两点. （1）若＝，求直线l的方程； （2）设直线AD，CB的斜率分别为k1，k2，若k1∶k2＝2∶1，求k的值. 反思感悟 　　本题采用了曲线代换，将＝2平方后即可利用曲线代换. 已知椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）.直线l：y＝x＋m与y轴交于点P，与椭圆交于M，N两点. （1）求椭圆E的标准方程； （2）若＝3，求实数m的值. 反思感悟 　　本题利用消元法，解方程组完成. 高考还可以这样考 1.在平面直角坐标系xOy中，过点F（1，0）的直线l与抛物线C：y2＝4x交于M，N两点（M在第一象限）.若｜MF｜＝3｜NF｜，则直线l的方程为　　　　. 2.若椭圆E1：＋＝1和（a1＞b1＞0）椭圆E2：＋＝1（a2＞b2＞0），满足＝＝m（m＞0），则这两个椭圆相似，m称为其相似比. （1）求经过点（2，），且与椭圆＋＝1相似的椭圆方程； （2）设过原点的一条射线l分别与（1）中两个椭圆交于A，B两 ... ...