第十章 第八节　概率、统计中的创新性问题（课件 学案 练习，共3份）2026届高中数学（通用版）一轮复习

第八节　概率、统计中的创新性问题 1.（2024·邯郸第四次调研）假设某同学每次投篮命中的概率均为. （1）若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率； （2）该同学参加投篮训练，训练计划如下：先投n（n∈N*，n≤33）个球，若这n个球都投进，则训练结束，否则额外再投100－3n个.试问n为何值时，该同学投篮次数的期望值最大？ 2.（2024·金丽衢十二校第二次联考）某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 [20，76） [76，82） [82，88） [88，94） [94，100] 元件数（件） 12 18 36 30 4 （1）现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率； （2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量X具有数学期望E（X）＝μ，方差D（X）＝σ2，则对任意正数ε，均有P（｜x－μ｜≥ε）≤成立. ①若X～B（100，），证明：P（0≤X≤25）≤； ②利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件） 3.（2025·枣庄一模）有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外完全相同.某人做摸球答题游戏.规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题.若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐.此人答对每一道题目的概率均为.当甲罐内无球时，游戏停止.假设开始时乙罐无球. （1）求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率； （2）设第n（n∈N*，n≥5）次答题后游戏停止的概率为an. ①求an； ②an是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由. 4.（2025·菏泽模拟）2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行夏季奥运会.为了普及奥运知识，M大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛. （1）初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中4道题，记小王在初赛中答对的题目个数为X，求X的数学期望以及小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率； （2）M大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：已进入决赛的参赛大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为p（0＜p＜），且每次是否中奖相互独立. ①记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为f（p），求f（p）的极大值； ②M大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1 120元，试求此时p的取值范围. 第八节　概率、统计中的创新性问题 1.解：（1）依题意，该同学投篮4次，恰好投中2次的概率P＝（）2（1－）2＝. （2）设该同学投篮的次数为X，则X的可能值为n，n＋100－3n＝100－2n，n∈N*，n≤33， 于是P（X＝n）＝，P（X＝100－2n）＝1－， 数学期望E（X）＝n·＋（100－2n）·（1－）＝－2n＋100， 令f（n）＝－2n＋100，n∈N*，则f（n＋1）＝－2n＋98， f（n＋1）－f（n）＝，显然函数g（n）＝103－3n－2n＋2是递减的， 当n≤4时，103－3n－2n＋2＞0，f（n＋1）＞f（n），当n≥5时，103－3n－2n＋2＜0，f（n＋1）＜f（n）， 即有f（1）＜f（2）＜f（3）＜f（4）＜f（5）＞f（6）＞f（7）＞…，因此f（5）最大，所以当n＝5时，该同学投篮次数的期望值最大. 2.解：（1）记事件A为抽 ... ...