第十章 考教衔接　两类概率模型的辨析（课件 学案，共2份）2026届高中数学（通用版）一轮复习

　两类概率模型的辨析 　　对于2023年全国甲卷理19题的第一小问，学生们给出了三种不同解法，三种解法的期望一样，但是概率分布列不同，孰对孰错？如何才能正确区分超几何分布和二项分布呢？ 一、真题呈现 （2023·全国甲卷理19题）一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）. （1）设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望； （2）略 本题主要考察了离散型随机变量的分布列以及独立性检验问题.第二问没有分歧，下面主要研究第一小问的解法. 二、解法赏析 解法1：两只小白鼠分在两个组，每只小白鼠都各有两种分配方案，总的分配方案为4种，两只小白鼠全部分配到试验组有1种情况，有一只分配到对照组有2种情况，全部分配到对照组的有1种情况，X的可能取值为0，1，2， 由古典概型的概率计算公式可得：P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝. 所以X的分布列为： X 0 1 2 P E（X）＝0×＋1×＋2×＝1. 解法2：每只小白鼠都可能被分到对照组和试验组，所以每只小白鼠被分到对照组的概率均为，依题意，X的可能取值为0，1，2， P（X＝0）＝×（1－）×（1－）＝， P（X＝1）＝××（1－）＝， P（X＝2）＝××＝. 所以X的分布列为： X 0 1 2 P E（X）＝0×＋1×＋2×＝1. 解法3：依题意，X的可能取值为0，1，2， 则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 故E（X）＝0×＋1×＋2×＝1. 三、真假辨析 　　我们先看教材.在人A选三的7.4.2节，有这样一个问题：已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件，设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.这个问题旨在让学生通过具体情境感知，如果采用放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数X服从二项分布，如果采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但是每次抽取不是同一个实验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合n重伯努利试验的特征，X服从超几何分布.也就是说，有无放回是区别二项分布和超几何分布的重要特征. 　　结合本题，小白鼠抽取，显然是不再放回的，也就是属于不放回抽取，从而本题应该是超几何分布问题.这样解法3就是正确的，解法1错误在把特定的两只小白鼠等同于其他小白鼠，按照每只小白鼠被抽到的可能性相等，事实上，这两只小白鼠被抽到的可能性是不同于其他小白鼠的，相当于40件产品中，有2件次品，38件正品，次品和正品被抽到的可能性不等.解法2错误在把抽两只小白鼠当作2次独立重复实验，事实上每次抽取并不独立，会影响第二次抽取. 反思感悟 　　一般地，我们辨别是超几何分布还是二项分布，有两点，其一是看总体数大小，其二是有无放回.当总体数目较大或者没有给出时，或者是无放回抽取时，属于超几何分布，反之，为二项分布. 　一个车间有3台车床，它们各自独立工作，设同时发生故障的车床数为X，在下列两种情形下分别求X的分布列. （1）3台车床型号相同，它们发生故障的概率是20%； （2）3台车床中有A型号2台，B型号1台，A型号车床发生故障的概率是10%，B型号车床发生故障的概率是20%. 在这里并没有明确的说明是“有放回”还是“无放回”的抽取，但是，（1）中车床型号相同，且发生故障的概率相同，可以理解为在相同试验条件下进行3次独立试验，满足n重伯努利试验的条件，所以X服从的是二项分布，而在（2）中车床分不同的型号，有差异，每种型号车床发生故障的概率有差异，那么发生故障的概率跟车床有关，所以服从超几何分布. 高考还可以这样考 1.某学校为了 ... ...