2025年第四届典韦杯线上联考（五月） 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知复数满足，则 A． B． C． D． 3．双曲线的右焦点到其渐近线的距离为 A． B． C． D． 4．已知函数在单调递减，则的取值范围是 A． B． C． D． 5．展开式中的常数项为 A． B． C． D． 6．已知，且，则的最小值为 A． B． C． D． 7．若数列满足，，则的个位数字为 A． B． C． D． 8．已知集合，其中，集合为的一个非空子集，且满足对于任意的，均有，则称为的一个“对映子集”．从的所有子集中等可能的抽取一个集合，是的对映子集的概率为，记，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列立体图形中，一定有内切球的是 A．正四面体 B．直三棱柱 C．正三棱台 D．正四棱锥 10．已知函数，下列说法正确的是 A．是奇函数 B． C．最小正周期为 D．的最大值为 11．已知抛物线的顶点为，焦点为，点是抛物线上一动点，下列说法正确的是 A． B．的准线方程为 C．≥ D．的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机变量的分布列为，，则_____． 13．若的面积为，，则_____． 14．设为坐标原点，椭圆的左顶点和左焦点分别为、，、为上关于轴对称的两点（点在第二象限）且轴，，则的离心率为_____；已知、为上关于轴对称的两点，直线，交于点，若椭圆的长轴长为，则点的轨迹方程为_____（结果含）． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，分别是角的对边， （1）求； （2）若点是上靠近的三等分点，且，求． 16．（15分） 已知函数 （1）证明：有且仅有一个极值点，并判断是极大值点还是极小值点． （2）当时，证明：． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，点在平面上的投影为点（图中未画出）． 证明：； 求与平面夹角的正弦值． 18．（17分） 已知双曲线，分别为其左、右顶点，是第一象限内曲线上一点，为曲线左支上一点，与轴交于点且与原点不重合，已知． 求直线的斜率； 设直线，的斜率分别为，： 证明：； 证明：． 19．（17分） 已知数列满足，，且和，的概率相同，记，其中≤≤，记为所有的之和，其中，的值可以相同． （1）当(为常数)的概率最大时，求的值； （2）求数列的通项公式； （3）将的所有值随机排列组成数列，≥，证明：存在一种排列方式，使得均为等差数列．2025 年第四届典韦杯线上联考（五月） 数学参考答案及考点分析 一、选择题：本大题共11小题，单选8小题，每小题5分，共计40分．多选3小题每小题6分，共18分.单选与答案不符不给分,多选选全得满分,选部分得部分分,选错不得分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B C B D A D B AD AB AC 已知集合，,则 B. C. D. 考点：一元二次不等式的求解，集合的基本运算 难度：★ 解析：，得，故 已知复数满足，则 A. B. C. D. 考点：复数的基本运算 难度：★ 解析： 双曲线的右焦点到双曲线渐近线的距离为 A. B. C. D. 考点：双曲线的性质，点到直线的距离 ... ...
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